Injectivité et noyau d'une application linéaire

Bonjour ! Dans la leçon précédente, nous avons vu comment trouver le noyau d'une application linéaire $f$ en résolvant un système homogène $AX=\vec{0}$. Nous avons appris que le noyau est un sous-espace vectoriel dont on peut déterminer une base.

Aujourd'hui, nous allons mettre cette compétence à profit pour répondre à une question cruciale : une application linéaire est-elle injective ? Vous découvrirez un test simple et puissant qui repose entièrement sur l'analyse du noyau. L'objectif de cette leçon est de vous apprendre à déterminer si une application linéaire est injective en analysant son noyau. C'est une excellente illustration de la manière dont un concept (le noyau) peut servir d'outil pour en caractériser un autre (l'injectivité).

1. Qu'est-ce que l'injectivité et quel est le lien avec le noyau ?

Une fonction est dite injective (ou "un-à-un") si chaque élément de l'ensemble d'arrivée a au plus un antécédent. En d'autres termes, il est impossible que deux éléments différents de l'ensemble de départ soient envoyés sur le même élément à l'arrivée.

Pour une application linéaire $f:E\to F$, on sait que le vecteur nul de l'espace de départ, ${\vec{0}}_E$, est toujours envoyé sur le vecteur nul de l'espace d'arrivée, ${\vec{0}}_F$. C'est-à-dire, $f({\vec{0}}_E)={\vec{0}}_F$.

Maintenant, si $f$ est injective, cela signifie qu'aucun autre vecteur que ${\vec{0}}_E$ ne peut avoir pour image ${\vec{0}}_F$. Si un vecteur non nul $X\ne {\vec{0}}_E$ avait pour image $f(X)={\vec{0}}_F$, on aurait deux vecteurs différents ($X$ et ${\vec{0}}_E$) qui ont la même image (${\vec{0}}_F$), ce qui contredirait la définition de l'injectivité.

Or, quel est l'ensemble de tous les vecteurs qui ont pour image ${\vec{0}}_F$ ? C'est précisément le noyau de $f$, $\text{Ker}(f)$.

La conclusion est donc directe : une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est réduit au seul vecteur nul.

L'image suivante résume parfaitement cette idée.

En termes de dimension, dire que le noyau ne contient que le vecteur nul est équivalent à dire que sa dimension est nulle. Le document suivant formalise ce critère.

2. La méthode pratique pour tester l'injectivité

La conséquence de ce qui précède est une méthode très simple en trois étapes pour déterminer si une application $f$ est injective :

1. Déterminer le noyau de $f$ : Posez et résolvez le système homogène $AX=\vec{0}$, exactement comme nous l'avons fait dans la leçon précédente.
2. Analyser la solution :
   • Si la seule solution est le vecteur nul $X=(0,0,...,0)$, alors $\text{Ker}(f)=\{\vec{0}\}$ et $\dim (\text{Ker}(f))=0$.
   • S'il existe des solutions non nulles (généralement exprimées avec un ou plusieurs paramètres libres), alors $\text{Ker}(f)$ contient d'autres vecteurs que le vecteur nul, et sa dimension est supérieure à 0.
3. Conclure :
   • Si $\dim (\text{Ker}(f))=0$, l'application est injective.
   • Si $\dim (\text{Ker}(f))>0$, l'application est non injective.

La vidéo suivante illustre parfaitement ce raisonnement. Le présentateur calcule d'abord le noyau, trouve qu'il est de dimension 1, puis en déduit que l'application n'est pas injective.

3. Exemples concrets

Appliquons cette méthode sur deux cas.

Cas 1 : Application non injective

Revenons à l'exemple que nous avons traité en détail dans la leçon précédente. Soit $f$ l'application linéaire de ${\mathbb{R}}^3$ dans ${\mathbb{R}}^3$ de matrice :
$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ -1& 2& -2\\ 0& 3& -1\end{array}\right)$
Nous avions trouvé que les solutions du système $AX=\vec{0}$ étaient de la forme :
$X=y\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 3\end{array}\right)$
Le noyau est donc $\text{Ker}(f)=\text{Vect}\{(-4,1,3)\}$. Il s'agit d'une droite vectorielle.

Analyse et Conclusion :
Le noyau contient une infinité de vecteurs non nuls (tous les multiples de $(-4,1,3)$). La dimension du noyau est $\dim (\text{Ker}(f))=1$.
Puisque $\dim (\text{Ker}(f))\ne 0$, l'application $f$ n'est pas injective.

Cas 2 : Application injective

Considérons l'application linéaire $g:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ définie par $g(x,y)=(2x+y,3x+4y)$.

1. Déterminer le noyau de $g$
Nous cherchons les vecteurs $(x,y)$ tels que $g(x,y)=(0,0)$. Cela nous donne le système :
$\{\begin{array}{l}2x+y=0\\ 3x+4y=0\end{array}$
De la première équation, on tire $y=-2x$.
Substituons cette expression dans la deuxième équation :
$3x+4(-2x)=0$
$3x-8x=0$
$-5x=0⟹x=0$
Maintenant, si $x=0$, alors $y=-2(0)=0$.

2. Analyser la solution
La seule solution du système est le couple $(x,y)=(0,0)$. Le noyau de $g$ est donc $\text{Ker}(g)=\{(0,0)\}$. La dimension du noyau est $\dim (\text{Ker}(g))=0$.

3. Conclure
Puisque $\dim (\text{Ker}(g))=0$, l'application $g$ est injective.

Vous pouvez retrouver la correction de cet exemple dans la ressource suivante.

L'image suivante vous donne une dernière représentation visuelle des deux concepts que nous avons explorés : le noyau ($\text{ker}(f)$) et l'image ($\text{Im}(f)$), que nous étudierons bientôt. Pour une application injective, la zone rouge ker(f) se réduit à un unique point : le vecteur nul.

Conclusion

Cette leçon a établi un lien direct et très utile entre le noyau et l'injectivité d'une application linéaire.

Points clés à retenir :

• Une application linéaire $f$ est injective si, et seulement si, son noyau ne contient que le vecteur nul : $\text{Ker}(f)=\{\vec{0}\}$.
• De manière équivalente, $f$ est injective si, et seulement si, la dimension de son noyau est nulle : $\dim (\text{Ker}(f))=0$.
• La méthode pratique consiste à calculer une base du noyau et à compter le nombre de vecteurs. S'il n'y en a aucun (ce qui signifie que la seule solution est le vecteur nul), l'application est injective. Si la base contient un ou plusieurs vecteurs, elle ne l'est pas.

Maintenant que nous savons comment analyser le noyau pour comprendre ce qui est "écrasé" par une application, la prochaine étape logique est d'étudier ce qui est "atteint" par l'application. Dans la leçon suivante, nous nous pencherons sur l'image d'une application linéaire, $\text{Im}(f)$, et verrons comment elle nous renseigne sur une autre propriété importante : la surjectivité.