Base de l'image d'une application linéaire

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Bonjour ! Dans la leçon précédente, nous avons exploré comment le noyau ( $Ker (f)$ ) nous permet de déterminer si une application linéaire est injective. Nous avons vu que le noyau rassemble tous les vecteurs de l'espace de départ qui sont "écrasés" sur le vecteur nul à l'arrivée.

Aujourd'hui, nous allons nous intéresser à l'autre facette de l'application : l'ensemble de toutes les destinations possibles. C'est ce que l'on appelle l'image de l'application, notée $Im (f)$ . Comprendre l'image est essentiel, car cela nous dit ce que l'application peut réellement "produire" ou "atteindre". L'objectif de cette leçon est d'apprendre à déterminer une base de l'image d'une application linéaire à partir des colonnes de sa matrice.

1. Qu'est-ce que l'image et quel est son lien avec la matrice ?

L'image d'une application linéaire $f : E \to F$ , notée $Im (f)$ , est l'ensemble de tous les vecteurs de l'espace d'arrivée $F$ qui peuvent être atteints par l'application. Formellement, c'est l'ensemble des vecteurs $Y \in F$ pour lesquels il existe au moins un vecteur $X \in E$ tel que $f (X) = Y$ .

Une propriété fondamentale des applications linéaires est que l'image est entièrement déterminée par ce que deviennent les vecteurs de la base de l'espace de départ. Si $(e_{1}, e_{2}, \dots, e_{p})$ est une base de $E$ , alors n'importe quel vecteur de l'image peut s'écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs $f (e_{1}), f (e_{2}), \dots, f (e_{p})$ .

Or, comme nous l'avons vu en construisant la matrice $A$ associée à $f$ , les colonnes de $A$ sont précisément les coordonnées des vecteurs $f (e_{1}), f (e_{2}), \dots, f (e_{p})$ dans la base de l'espace d'arrivée.

Cette illustration montre que les colonnes de la matrice $A$ associée à l'application $f$ sont formées par les coordonnées des images des vecteurs de base de l'espace de départ.

La conclusion est directe : l'image de l'application linéaire $f$ est l'espace vectoriel engendré par les vecteurs colonnes de sa matrice $A$ . Cet espace est également appelé l'espace des colonnes de $A$ , noté $Col (A)$ .

Le document suivant formalise cette définition.

Algèbre Linéaire et Applications

Ce texte définit formellement l'espace des colonnes, qui correspond à l'image de l'application linéaire.

Lisez les deux premiers paragraphes du chapitre, qui présentent la définition de l'espace des colonnes. Retenez que \text{Im}(f) = \text{Col}(A) et que c'est un sous-espace de l'espace d'arrivée.

2. Comment trouver une base de l'image ?

Puisque l'image est engendrée par les vecteurs colonnes de la matrice $A$ , ces colonnes forment une famille génératrice de $Im (f)$ . Cependant, cette famille n'est pas toujours une base, car les vecteurs colonnes peuvent être linéairement dépendants (par exemple, une colonne peut être un multiple d'une autre).

Notre objectif est donc d'extraire de cette famille génératrice une sous-famille qui soit libre tout en continuant à engendrer le même espace : une base. Il existe une méthode systématique et très fiable pour y parvenir, qui s'appuie sur le pivot de Gauss que vous connaissez bien.

La méthode de réduction par lignes :

Prenez la matrice $A$ de l'application linéaire.
Appliquez des opérations élémentaires sur les lignes pour la transformer en une matrice échelonnée (pas besoin d'aller jusqu'à la forme échelonnée réduite).
Identifiez les colonnes de la matrice échelonnée qui contiennent un pivot.
La base de l'image $Im (f)$ est constituée des vecteurs colonnes correspondants de la matrice de départ $A$ .

Attention : C'est un point crucial. Il ne faut pas prendre les colonnes de la matrice échelonnée, mais bien celles de la matrice originale. Les opérations sur les lignes modifient l'espace des colonnes, mais elles préservent les relations de dépendance linéaire entre les colonnes.

La ressource suivante détaille précisément cette méthode.

Algèbre Linéaire et Applications

Ce passage explique la méthode générale pour trouver une base de l'espace des colonnes à l'aide de la forme échelonnée.

Dans la sous-section 6.11.1.2 "Matrice générale", concentrez-vous sur la proposition et l'exemple. Lisez la proposition clé, puis suivez attentivement l'exemple détaillé qui met en pratique cette proposition. Notez bien que la base trouvée est composée des colonnes de la matrice \mathbf{A} de départ.

3. Exemples pratiques

Mettons cette méthode en application avec deux exemples.

Exemple 1 : Matrice 3x3

Reprenons l'application linéaire de la leçon précédente, dont la matrice est :
$A = 1 - 1 0 123 1 - 2 - 1$
Les colonnes de $A$ sont $C_{1} = (1, - 1, 0)$ , $C_{2} = (1, 2, 3)$ et $C_{3} = (1, - 2, - 1)$ . L'image de $f$ est $Im (f) = Vect (C_{1}, C_{2}, C_{3})$ .

1. Échelonnons la matrice $A$ :
$1 - 1 0 123 1 - 2 - 1 L_{2} \leftarrow L_{2} + L_{1} 100133 1 - 1 - 1 L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{2} 100130 1 - 1 0$

2. Identifions les pivots :
La matrice échelonnée a des pivots dans la colonne 1 et la colonne 2.

3. Formons la base :
La base de $Im (f)$ est donc formée par la colonne 1 et la colonne 2 de la matrice originale $A$ .
$Base de Im (f) = ⎩ ⎨ ⎧ 1 - 1 0, 123 ⎭ ⎬ ⎫$
La dimension de l'image est $dim (Im (f)) = 2$ .

L'exercice suivant, qui utilise cette même matrice, confirme notre résultat.

Exercices corrigés -Matrices et applications linéaires

Cet exercice permet de vérifier notre calcul sur la même matrice.

Trouvez l'Exercice 6 dans le document. Vous avez déjà étudié le noyau de cette application. Lisez maintenant la fin de la correction. Elle aboutit à la même conclusion : l'image est de dimension 2 et une base est formée par les deux premiers vecteurs colonnes, car ils sont linéairement indépendants.

Exemple 2 : Une relation de dépendance évidente

Considérons l'application $u$ dont la matrice est :
$A = 1 - 2 0 - 1 20 002$
Ici, on peut voir à l'œil nu que la deuxième colonne est un multiple de la première : $C_{2} = - C_{1}$ . La colonne $C_{2}$ est donc linéairement dépendante et on peut la retirer de la famille génératrice sans changer l'espace engendré.
Les colonnes restantes, $C_{1} = (1, - 2, 0)$ et $C_{3} = (0, 0, 2)$ , ne sont pas colinéaires, donc elles sont linéairement indépendantes.

Elles forment donc une base de l'image :
$Base de Im (u) = ⎩ ⎨ ⎧ 1 - 2 0, 002 ⎭ ⎬ ⎫$
La vidéo suivante illustre une approche similaire, où une base est trouvée en identifiant et en écartant les vecteurs colonnes dépendants.

Exercice d’algèbre linéaire : noyau et image d’une application linéaire à partir de la matrice

Cette vidéo de "Pink Maths" explique comment construire l'image à partir des colonnes de la matrice et comment en extraire une base.

Regardez d'abord de cette partie qui rappelle que les colonnes de la matrice sont les images des vecteurs de base. Ensuite, regardez le raisonnement où l'auteur observe que deux des colonnes sont colinéaires. Il en écarte une et conserve les deux autres vecteurs indépendants pour former une base de l'image.

Conclusion

Aujourd'hui, nous avons exploré le concept de l'image d'une application linéaire et, surtout, appris une méthode pratique pour en trouver une base.

Points clés à retenir :

L'image d'une application linéaire $f$ , notée $Im (f)$ , est l'ensemble de toutes les sorties possibles. C'est l'espace vectoriel engendré par les vecteurs colonnes de la matrice $A$ associée.
Pour trouver une base de l'image, la méthode la plus sûre est d'échelonner la matrice $A$ . Les colonnes de la matrice originale $A$ qui correspondent aux colonnes avec pivots dans la matrice échelonnée forment une base de $Im (f)$ .
La dimension de l'image est simplement le nombre de vecteurs dans sa base. On l'appelle aussi le rang de l'application (ou de la matrice).

Maintenant que nous savons ce qu'est l'image et comment la caractériser, nous sommes équipés pour répondre à une autre question fondamentale : une application est-elle surjective ? Dans la prochaine leçon, nous verrons comment l'analyse de l'image nous permet de tester la surjectivité.