Surjectivité d'une application linéaire par son image

Bonjour ! Dans la leçon précédente, nous avons appris à déterminer une base pour l'image d'une application linéaire, $\text{Im}(f)$, en identifiant les vecteurs colonnes pivots de sa matrice. Nous avons ainsi caractérisé l'ensemble de toutes les "destinations" possibles de l'application.

Aujourd'hui, nous allons utiliser cette connaissance pour répondre à une question cruciale : l'application peut-elle atteindre tous les points de son espace d'arrivée ? C'est la notion de surjectivité. L'objectif est d'apprendre à déterminer si une application linéaire est surjective en analysant simplement son image. Cette compétence est essentielle pour comprendre la portée et les limites d'une transformation linéaire.

1. Qu'est-ce que la surjectivité ?

Une application linéaire $f:E\to F$ est dite surjective si son image $\text{Im}(f)$ recouvre entièrement l'espace d'arrivée $F$. En d'autres termes, pour n'importe quel vecteur $Y$ dans l'espace d'arrivée $F$, il existe au moins un vecteur $X$ dans l'espace de départ $E$ tel que $f(X)=Y$.

Aucun point de l'espace d'arrivée n'est "hors de portée".

Dans le contexte des espaces vectoriels de dimension finie, vérifier cela devient beaucoup plus simple. Plutôt que de vérifier chaque vecteur, il suffit de comparer les dimensions.

Une application linéaire $f:E\to F$ est surjective si et seulement si la dimension de son image est égale à la dimension de son espace d'arrivée.

Comme nous l'avons vu, $\dim (\text{Im}(f))$ n'est autre que le rang de la matrice $A$ associée à $f$. Si l'espace d'arrivée est ${\mathbb{R}}^m$, sa dimension est $m$. La condition devient donc très concrète :

Une application $f:E\to {\mathbb{R}}^m$ est surjective si et seulement si le rang de sa matrice $A$ est égal à $m$ (le nombre de lignes de A).

Le document suivant formalise cette définition et ce critère essentiel.

2. Méthode pratique et exemples

La méthode pour tester la surjectivité est donc directe et s'appuie sur ce que nous avons déjà fait :

1. Identifier la dimension de l'espace d'arrivée. Si $f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$, la dimension de l'espace d'arrivée est $m$.
2. Calculer le rang de la matrice $A$. C'est le nombre de pivots obtenus après échelonnement par la méthode de Gauss. C'est aussi la dimension de l'image, $\dim (\text{Im}(f))$.
3. Comparer. Si $\text{rang}(A)=m$, l'application est surjective. Sinon, elle ne l'est pas.

Exemple 1 : Une application non surjective (${\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$)

Reprenons l'application $f:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$ de la leçon précédente, avec la matrice :
$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ -1& 2& -2\\ 0& 3& -1\end{array}\right)$

1. Espace d'arrivée : C'est ${\mathbb{R}}^3$, donc sa dimension est $m=3$.
2. Rang de A : Dans la leçon précédente, nous avons échelonné $A$ et trouvé 2 pivots. Le rang de $A$ est donc $\text{rang}(A)=\dim (\text{Im}(f))=2$.
3. Conclusion : Puisque $\text{rang}(A)=2\ne 3$, l'application $f$ n'est pas surjective. Il y a des vecteurs dans ${\mathbb{R}}^3$ qui ne peuvent pas être atteints par $f$.

Exemple 2 : Une application surjective (${\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2$)

Considérons l'application $T:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2$ dont la matrice est $A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ -1& 1& 0\end{array}\right)$.

1. Espace d'arrivée : C'est ${\mathbb{R}}^2$, donc sa dimension est $m=2$.
2. Rang de A : Échelonnons la matrice $A$.
   $\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ -1& 1& 0\end{array}\right)\stackrel{L_2\leftarrow L_2+L_1}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$
   Nous avons des pivots dans la colonne 1 et la colonne 3. Il y a 2 pivots, donc $\text{rang}(A)=2$.
3. Conclusion : Puisque $\text{rang}(A)=2$ et que la dimension de l'espace d'arrivée est aussi 2, l'application $T$ est surjective. Tout vecteur de ${\mathbb{R}}^2$ a au moins un antécédent dans ${\mathbb{R}}^3$.

La vidéo suivante explique ce raisonnement de manière très claire, en utilisant le théorème du rang pour trouver la dimension de l'image, puis en la comparant à la dimension de l'espace d'arrivée.

3. Le cas particulier des endomorphismes (matrices carrées)

Lorsque l'espace de départ et d'arrivée sont les mêmes ($f:E\to E$), on parle d'endomorphisme, et la matrice associée est carrée. Dans ce cas très important, il existe un lien puissant entre injectivité et surjectivité.

Pour un endomorphisme $f$ en dimension finie (par exemple $f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$), les affirmations suivantes sont équivalentes :

• $f$ est injective ($\ker (f)=\{0\}$)
• $f$ est surjective ($\dim (\text{Im}(f))=n$)
• $f$ est bijective (injective et surjective)

Cela signifie que si vous testez l'injectivité et que vous trouvez qu'elle est vraie, vous savez automatiquement que l'application est aussi surjective (et vice-versa). C'est un raccourci très utile pour les matrices carrées.

Revoyons notre Exemple 1 ($A$ est une matrice 3x3). Nous avons trouvé que $\text{rang}(A)=2$, donc l'application n'est pas surjective. Grâce à l'équivalence ci-dessus, nous pouvons immédiatement conclure qu'elle n'est pas injective non plus. (Ce que nous avions déjà découvert en trouvant que son noyau était de dimension 1).

L'exercice suivant illustre parfaitement ce point.

Conclusion

Nous avons ajouté une nouvelle compétence d'analyse à notre boîte à outils. En examinant l'image d'une application, nous pouvons maintenant déterminer si elle est surjective.

Points clés à retenir :

• Une application est surjective si son image est égale à tout l'espace d'arrivée. Autrement dit, si tout élément de l'espace d'arrivée peut être atteint.
• La méthode pratique consiste à comparer la dimension de l'image (le rang de la matrice) à la dimension de l'espace d'arrivée (le nombre de lignes). S'ils sont égaux, l'application est surjective.
• Pour les matrices carrées (endomorphismes), l'injectivité et la surjectivité sont équivalentes. C'est un raccourci puissant.

Dans la prochaine leçon, nous allons formaliser une relation que nous avons déjà utilisée à plusieurs reprises : le théorème du rang. Ce théorème lie élégamment les dimensions de l'espace de départ, du noyau et de l'image, et nous permettra de vérifier la cohérence de nos calculs.