Théorème du rang : dimensions noyau et image

Bonjour ! Au cours des dernières leçons, nous avons exploré en détail le noyau ($\ker f$) et l'image ($\text{Im}f$) d'une application linéaire. Nous avons appris que la dimension du noyau nous renseigne sur l'injectivité, tandis que la dimension de l'image (le rang) nous renseigne sur la surjectivité.

Aujourd'hui, nous allons assembler ces pièces avec un résultat central de l'algèbre linéaire : le théorème du rang. Ce théorème établit une relation simple mais puissante entre la dimension de l'espace de départ, la dimension du noyau et celle de l'image. L'objectif est d'utiliser ce théorème comme un outil de vérification pour assurer la cohérence de tous nos calculs. C'est la dernière étape de notre analyse des applications linéaires avant de passer à la diagonalisation.

1. L'énoncé du théorème du rang

Le théorème du rang, aussi appelé théorème de la dimension, est une formule élégante qui relie trois nombres fondamentaux associés à une application linéaire $f:E\to F$, où $E$ est l'espace de départ de dimension finie.

Il s'énonce comme suit :

Rappelons que $\dim (\text{Im}(f))$ est ce que nous appelons le rang de l'application, noté $\text{rg}(f)$. L'équation devient donc :

En d'autres termes, la dimension de l'espace de départ est la somme de la dimension de ce qui est "écrasé" sur le vecteur nul (le noyau) et de la dimension de ce qui est "atteint" (l'image).

Dans le cadre très pratique des matrices, si $A$ est une matrice de taille $m\times n$ représentant une application $f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$, l'espace de départ est ${\mathbb{R}}^n$, donc $\dim (E)=n$ (le nombre de colonnes). Le théorème s'écrit alors :

où $\dim (\ker (A))$ est la dimension du noyau (parfois appelée la nullité) et $\text{rg}(A)$ est le rang de la matrice.

Le document suivant formalise cet énoncé de manière très claire.

2. Le théorème comme outil de vérification

La principale utilité pratique de ce théorème pour nous est sa capacité à servir de contrôle de cohérence. Si vous avez calculé deux des trois grandeurs ($\dim (E)$, $\dim (\ker f)$, $\text{rg}(f)$), vous pouvez instantanément déduire la troisième et vérifier si elle correspond à vos autres calculs.

Voyons cela en action.
Imaginez que vous étudiez une application $f:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2$.

1. Vous identifiez immédiatement la dimension de l'espace de départ : $\dim ({\mathbb{R}}^3)=3$.
2. Vous calculez le noyau en résolvant le système $AX=0$ et trouvez une base constituée d'un seul vecteur. Vous concluez que $\dim (\ker f)=1$.
3. Application du théorème : $\text{rg}(f)=\dim ({\mathbb{R}}^3)-\dim (\ker f)=3-1=2$.
4. Vérification : Vous pouvez maintenant vérifier ce résultat en calculant le rang de la matrice $A$ par la méthode du pivot de Gauss. Si vous trouvez bien 2 pivots, vos calculs sont cohérents. Si vous en trouvez un nombre différent, vous savez qu'une erreur s'est glissée soit dans le calcul du noyau, soit dans l'échelonnement de la matrice.

Cette double approche est un excellent moyen de s'assurer de l'exactitude de ses résultats.

La vidéo suivante, après avoir déterminé le noyau et l'image séparément, utilise le théorème du rang exactement de cette manière pour vérifier la cohérence.

3. Exemples d'application complets

Mettons en pratique cette méthode de vérification avec un exercice complet.

Exemple 1 : Trouver la dimension du noyau à partir du rang

Soit l'application linéaire $f:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2$ dont la matrice est $A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 3& -3& 6\end{array}\right)$.

1. Dimension de l'espace de départ : $E={\mathbb{R}}^3$, donc $\dim (E)=n=3$.
2. Calcul du rang : Échelonnons la matrice $A$.
   $\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 3& -3& 6\end{array}\right)\stackrel{L_2\leftarrow L_2-3L_1}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$
   Il n'y a qu'un seul pivot. Donc, $\text{rg}(A)=1$.
3. Application du théorème : On peut maintenant déduire la dimension du noyau.
   $\dim (\ker A)=n-\text{rg}(A)=3-1=2$
   Sans même résoudre le système $AX=0$, nous savons que le noyau est un plan dans ${\mathbb{R}}^3$. C'est un gain de temps et une information précieuse.

L'exercice suivant dans le document "Le théorème du rang" illustre parfaitement cette démarche.

Exemple 2 : Vérification croisée

Prenons maintenant un exemple où nous calculons tout et utilisons le théorème à la fin comme un sceau de validation.

4. Le théorème et l'équivalence pour les endomorphismes

Rappelez-vous de la leçon précédente : pour un endomorphisme en dimension finie ($f:E\to E$, donc une matrice carrée), l'injectivité et la surjectivité sont équivalentes. Le théorème du rang rend cette équivalence évidente.

Soit $f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$.

• $f$ est injective $⟺\dim (\ker f)=0$. D'après le théorème, cela équivaut à $\text{rg}(f)=n-0=n$.
• $f$ est surjective $⟺\text{rg}(f)=\dim ({\mathbb{R}}^n)=n$.

Les deux conditions se résument à $\text{rg}(f)=n$. Par conséquent, pour une matrice carrée, être injective est strictement équivalent à être surjective. Si vous prouvez l'une, le théorème du rang vous garantit l'autre gratuitement.

Conclusion

Le théorème du rang est le point culminant de notre analyse des applications linéaires. Il tisse un lien indissociable entre l'espace de départ, le noyau et l'image.

Points clés à retenir :

• L'énoncé : $\dim (E)=\dim (\ker f)+\text{rg}(f)$. Pour une matrice à $n$ colonnes : $n=\dim (\ker A)+\text{rg}(A)$.
• Utilisation principale : C'est un puissant outil de vérification. Si vous calculez deux de ces dimensions, vous pouvez déduire la troisième et vérifier la cohérence de votre travail.
• Implication pour les matrices carrées : Il explique pourquoi l'injectivité et la surjectivité sont équivalentes pour les endomorphismes en dimension finie.

Cette leçon conclut notre module sur l'analyse des applications linéaires. Vous êtes maintenant équipé pour aborder le dernier chapitre de ce cours : la recherche des valeurs et vecteurs propres. Vous verrez que la première étape pour trouver les vecteurs propres associés à une valeur propre $\lambda$ consiste à trouver le noyau de la matrice $(A-\lambda I)$. Le théorème du rang restera donc un compagnon utile