Critère de Diagonalisabilité par Base de Vecteurs Propres

Bonjour ! Dans la leçon précédente, vous avez brillamment appris à déterminer la base de l'espace propre associé à chaque valeur propre. Vous avez ainsi appris à trouver les vecteurs qui caractérisent les directions conservées par une transformation linéaire.

Nous arrivons maintenant à une étape cruciale de notre parcours : nous allons utiliser toutes les compétences acquises pour répondre à la question centrale de ce module. L'objectif de cette leçon est de déterminer si une matrice est diagonalisable en vérifiant qu'il existe une base de vecteurs propres. Nous allons assembler les valeurs propres et les dimensions des espaces propres que vous savez calculer pour porter un jugement final sur la diagonalisabilité d'une matrice.

1. La condition fondamentale de la diagonalisation

Une matrice carrée $A$ de taille $n\times n$ est dite diagonalisable s'il est possible de trouver une base de l'espace ${\mathbb{R}}^n$ constituée uniquement de vecteurs propres de $A$.

Concrètement, qu'est-ce que cela signifie ? Dans la leçon précédente, vous avez trouvé une base pour chaque espace propre $E_{\lambda }$. Si l'on rassemble tous les vecteurs de base de tous les espaces propres, et que ce nouvel ensemble contient exactement $n$ vecteurs (pour une matrice $n\times n$), alors la matrice est diagonalisable.

Cela nous amène à une condition simple et pratique :

Une matrice $A$ de taille $n\times n$ est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions de tous ses espaces propres est égale à $n$.
${\sum }_{\lambda \in \text{Sp}(A)}\dim (E_{\lambda })=n$

Où $\text{Sp}(A)$ est l'ensemble des valeurs propres de $A$.

2. Multiplicité algébrique et géométrique : Le critère formel

Pour rendre cette condition encore plus facile à vérifier, les mathématiciens utilisent deux types de "multiplicité" pour chaque valeur propre.

1. Multiplicité Algébrique : C'est le nombre de fois qu'une valeur propre apparaît comme racine du polynôme caractéristique.

   • Par exemple, si $p_A(\lambda )=-(\lambda -5{)}^2(\lambda +1)$, alors :
     • La valeur propre $\lambda =5$ a une multiplicité algébrique de 2.
     • La valeur propre $\lambda =-1$ a une multiplicité algébrique de 1.
   • La somme des multiplicités algébriques est toujours égale à la taille de la matrice, $n$.

2. Multiplicité Géométrique : C'est la dimension de l'espace propre associé à la valeur propre, $\dim (E_{\lambda })$. C'est tout simplement le nombre de vecteurs que vous avez trouvés pour la base de cet espace.

Avec ce vocabulaire, le critère de diagonalisation devient très élégant.

Un fait essentiel à connaître est que, pour toute valeur propre $\lambda$, on a toujours :
$1\le \text{multipliciteˊ geˊomeˊtrique}\le \text{multipliciteˊ algeˊbrique}$

Cela signifie que le seul risque qu'une matrice ne soit pas diagonalisable survient quand, pour une valeur propre $\lambda$, la dimension de son espace propre est strictement plus petite que sa multiplicité algébrique.

La vidéo suivante illustre parfaitement un cas où une matrice n'est pas diagonalisable.

3. Un raccourci très utile : Le cas des valeurs propres distinctes

Il existe un cas particulier très fréquent qui vous fera gagner beaucoup de temps.

Si une matrice $A$ de taille $n\times n$ possède $n$ valeurs propres distinctes (c'est-à-dire différentes les unes des autres), alors elle est automatiquement diagonalisable.

Pourquoi ? Si les $n$ valeurs propres sont distinctes, chacune a une multiplicité algébrique de 1. Comme la multiplicité géométrique est toujours au moins 1, elle est forcément égale à 1 pour chaque valeur propre. La condition est donc toujours satisfaite.

Voyons ce raccourci en action dans une ressource.

4. Application : Synthèse des leçons précédentes

Mettons maintenant tout cela en pratique en revenant sur l'exercice de la leçon précédente.
Soit la matrice $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 6& -2\\ 0& -2& 0\\ 1& 3& -3\end{array}\right)$.

1. Polynôme caractéristique et multiplicités algébriques :
   Nous avions (implicitement) trouvé que le polynôme caractéristique est $p_A(\lambda )=-(\lambda +1)(\lambda +2{)}^2$.

   • Pour ${\lambda }_1=-1$ : multiplicité algébrique = 1.
   • Pour ${\lambda }_2=-2$ : multiplicité algébrique = 2.
     La somme des multiplicités algébriques est $1+2=3$, ce qui correspond bien à la taille de la matrice.

2. Bases des espaces propres et multiplicités géométriques :
   Dans la solution de l'exercice, vous aviez trouvé :

   • Base de $E_{-1}$ : $\{\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)\}$. Donc, $\dim (E_{-1})$, la multiplicité géométrique de ${\lambda }_1=-1$, est 1.
   • Base de $E_{-2}$ : $\{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 3\end{array}\right)\}$. Donc, $\dim (E_{-2})$, la multiplicité géométrique de ${\lambda }_2=-2$, est 2.

3. Conclusion sur la diagonalisabilité :
   Nous pouvons vérifier la condition de deux manières :

   • Méthode 1 (Somme des dimensions) :
     $\dim (E_{-1})+\dim (E_{-2})=1+2=3$.
     La somme des dimensions des espaces propres est égale à la taille de la matrice (3). Donc, A est diagonalisable.

   • Méthode 2 (Comparaison des multiplicités) :

     • Pour ${\lambda }_1=-1$ : mult. géométrique (1) = mult. algébrique (1). ✅
     • Pour ${\lambda }_2=-2$ : mult. géométrique (2) = mult. algébrique (2). ✅
       La condition est vérifiée pour toutes les valeurs propres. Donc, A est diagonalisable.

Les deux méthodes mènent bien sûr à la même conclusion.

5. Exercice d'application

À votre tour ! Déterminez si la matrice suivante est diagonalisable.

Soit $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}2& 2& 2\\ 0& 2& 0\\ 0& 1& 3\end{array}\right]$.

1. Trouvez les valeurs propres et leurs multiplicités algébriques. (Indice : le calcul du déterminant est rapide en développant par rapport à la première colonne).
2. Pour chaque valeur propre $\lambda$ avec une multiplicité algébrique > 1, calculez la dimension de son espace propre $E_{\lambda }$ (sa multiplicité géométrique).
3. Concluez sur la diagonalisabilité de $\mathbf{A}$.

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Solution :

La ressource Algèbre Linéaire et Applications contient la solution exacte à cet exercice.

Résumé de la solution :

1. Le polynôme caractéristique est $p_A(\lambda )=(2-\lambda {)}^2(3-\lambda )$. Les valeurs propres sont ${\lambda }_1=2$ (multiplicité algébrique 2) et ${\lambda }_2=3$ (multiplicité algébrique 1).
2. Pour ${\lambda }_1=2$, on calcule la dimension de $E_2=\ker (A-2I)$. La matrice $A-2I$ a un rang de 1, donc par le théorème du rang, $\dim (E_2)=n-\text{rang}(A-2I)=3-1=2$. La multiplicité géométrique de ${\lambda }_1=2$ est 2.
3. Pour ${\lambda }_2=3$, sa multiplicité algébrique est 1, donc sa multiplicité géométrique est forcément 1.
4. La somme des dimensions est $2+1=3$. La matrice est bien diagonalisable.

Conclusion

Félicitations ! Vous avez atteint un jalon important. Vous êtes maintenant capable de déterminer si une matrice est diagonalisable, ce qui est l'aboutissement de toutes les étapes précédentes.

Les points clés à retenir sont :

• Condition principale : Une matrice $A$ de taille $n\times n$ est diagonalisable si la somme des dimensions de ses espaces propres est égale à $n$.
• Critère des multiplicités : De manière équivalente, pour chaque valeur propre, sa multiplicité géométrique ($\dim (E_{\lambda })$) doit être égale à sa multiplicité algébrique.
• Raccourci utile : Si une matrice $n\times n$ a $n$ valeurs propres distinctes, elle est toujours diagonalisable.

Maintenant que nous savons identifier les matrices diagonalisables, il est temps de passer à l'acte. Dans la prochaine et dernière leçon de ce module, nous allons construire la matrice diagonale $D$ et la matrice de passage $P$, et assembler la fameuse relation $A=PD{P}^{-1}$ qui est le but final de la diagonalisation.