Matrice Diagonale et Matrice de Passage

Bonjour ! Dans la leçon précédente, nous avons établi un critère clair pour déterminer si une matrice est diagonalisable en comparant les multiplicités de ses valeurs propres. Vous savez maintenant identifier les matrices qui peuvent être simplifiées sous une forme diagonale.

Aujourd'hui, nous passons de la théorie à la pratique. L'objectif est de construire la matrice diagonale D et la matrice de passage P. Nous allons voir comment assembler concrètement ces deux matrices à partir des valeurs et vecteurs propres que vous avez appris à calculer. C'est l'étape de "construction" de la diagonalisation, qui nous mènera directement à l'application finale de ce processus.

1. La Vue d'Ensemble : À quoi servent P et D ?

La diagonalisation consiste à réécrire une matrice $A$ sous la forme $A=PD{P}^{-1}$. Cette nouvelle écriture est extrêmement utile car elle simplifie de nombreux calculs, notamment la mise à la puissance d'une matrice.

L'image suivante illustre parfaitement ce processus :

Ce schéma montre comment une matrice A, exprimée dans la base canonique, est transformée en une matrice diagonale D, exprimée dans une base de vecteurs propres. Cette transformation simplifie le calcul des puissances de A, en utilisant la formule $A^n=P{D}^n{P}^{-1}$.

Notre objectif aujourd'hui est d'apprendre à construire les deux pièces maîtresses de cette formule :

• La matrice diagonale $D$, qui est une version simplifiée de $A$.
• La matrice de passage $P$, qui fait le lien entre $A$ et $D$.

2. Construire la Matrice Diagonale $D$

La construction de la matrice $D$ est la plus simple. Il s'agit d'une matrice diagonale dont les éléments sur la diagonale principale sont les valeurs propres de la matrice $A$. Tous les autres éléments sont nuls.

Par exemple, si une matrice 3x3 a pour valeurs propres ${\lambda }_1=4$, ${\lambda }_2=-1$ et ${\lambda }_3=-1$, sa matrice diagonale $D$ sera :

L'ordre dans lequel vous placez les valeurs propres sur la diagonale est libre, mais ce choix déterminera l'ordre des colonnes dans la matrice de passage $P$.

3. Construire la Matrice de Passage $P$

La matrice de passage $P$ est formée en utilisant les vecteurs propres de $A$ comme colonnes.

La règle est simple mais stricte : l'ordre des vecteurs propres dans les colonnes de $P$ doit correspondre à l'ordre des valeurs propres choisies pour la diagonale de $D$.

• Si le premier élément diagonal de $D$ est ${\lambda }_1$, la première colonne de $P$ doit être un vecteur propre associé à ${\lambda }_1$.
• Si le deuxième élément diagonal de $D$ est ${\lambda }_2$, la deuxième colonne de $P$ doit être un vecteur propre associé à ${\lambda }_2$.
• Et ainsi de suite.

La vidéo suivante explique très clairement cette règle de construction pour un cas 2x2.

4. Exemple complet : Construction de P et D pour une matrice 3x3

Revenons à la matrice que nous avons étudiée dans les leçons précédentes :
$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 6& -2\\ 0& -2& 0\\ 1& 3& -3\end{array}\right)$
Dans la leçon 4.4, nous avions trouvé les éléments suivants :

• Valeur propre ${\lambda }_1=-1$, avec l'espace propre $E_{-1}$ dont une base est $\left\{\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)\right\}$.
• Valeur propre ${\lambda }_2=-2$, avec l'espace propre $E_{-2}$ dont une base est $\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 3\end{array}\right)\right\}$.

Nous avons bien $1+2=3$ vecteurs de base au total, donc la matrice est diagonalisable. Construisons $D$ et $P$.

Étape 1 : Choisir un ordre pour les valeurs propres et construire D.

Choisissons l'ordre suivant : ${\lambda }_1=-1$, ${\lambda }_2=-2$, ${\lambda }_3=-2$. La matrice diagonale $D$ est donc :

Étape 2 : Construire P en respectant l'ordre.

Nous devons maintenant placer les vecteurs propres correspondants dans les colonnes de $P$.

• 1ère colonne : un vecteur propre pour $\lambda =-1$. Nous prenons $\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.
• 2ème colonne : un vecteur propre pour $\lambda =-2$. Nous prenons $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.
• 3ème colonne : l'autre vecteur propre pour $\lambda =-2$. Nous prenons $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 3\end{array}\right)$.

La matrice de passage $P$ est donc :

Et voilà ! Nous avons construit $D$ et $P$. La dernière étape du processus de diagonalisation, qui consistera à calculer $P^{-1}$ et à vérifier que $A=PD{P}^{-1}$, sera l'objet de notre prochaine leçon.

5. Exercice guidé

Appliquons cette méthode sur un nouvel exemple. La ressource suivante détaille pas à pas la diagonalisation d'une matrice 3x3. Votre tâche est de suivre la démarche pour identifier la construction de P et D.

6. Exercice d'application (2x2)

Pour vous assurer que le principe est bien acquis, construisons $P$ et $D$ pour la matrice $A=\left(\begin{array}{cc}5& -3\\ 6& -4\end{array}\right)$.

Les calculs précédents (que nous admettons ici) ont donné :

• Valeur propre ${\lambda }_1=-1$, avec le vecteur propre associé $x_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$.
• Valeur propre ${\lambda }_2=2$, avec le vecteur propre associé $x_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$.

1. Construisez la matrice diagonale $D$ en utilisant l'ordre ${\lambda }_1=-1,{\lambda }_2=2$.
2. Construisez la matrice de passage $P$ correspondante.
3. (Optionnel) Que deviendraient $D$ et $P$ si vous aviez choisi l'ordre ${\lambda }_1=2,{\lambda }_2=-1$ ?

Solution :

Vous pouvez vérifier votre raisonnement avec l'exemple fourni dans cette ressource.

Solutions attendues :

1. Pour l'ordre ${\lambda }_1=-1,{\lambda }_2=2$:
   $D=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 2\end{array}\right),P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\right)$
2. Pour l'ordre ${\lambda }_1=2,{\lambda }_2=-1$:
   $D=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -1\end{array}\right),P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$

Conclusion

Félicitations ! Vous avez maîtrisé l'avant-dernière étape de la diagonalisation. Vous savez maintenant comment organiser le résultat de vos calculs de valeurs et de vecteurs propres pour construire les matrices $D$ et $P$.

Les points clés à retenir sont :

• La matrice diagonale $D$ contient les valeurs propres de $A$ sur sa diagonale.
• La matrice de passage $P$ contient les vecteurs propres de $A$ en colonnes.
• La règle d'or : L'ordre des vecteurs propres dans $P$ doit impérativement correspondre à l'ordre des valeurs propres dans $D$.

Maintenant que nous savons construire $P$ et $D$, nous sommes prêts pour l'étape finale. Dans la prochaine leçon, nous allons assembler la relation complète $A=PD{P}^{-1}$, ce qui inclut le calcul de l'inverse $P^{-1}$, et voir l'une des applications les plus puissantes de la diagonalisation : le calcul rapide de $A^n$.