Bases des espaces propres

Bonjour ! Dans la leçon précédente, nous avons appris à formuler le système d'équations homogène $(A-\lambda I)X=0$ pour chaque valeur propre $\lambda$ d'une matrice. Cette étape est cruciale car elle nous prépare à trouver les vecteurs propres, qui sont les solutions de ce système.

Aujourd'hui, nous allons passer à l'action en résolvant ces systèmes. L'objectif est de déterminer une base de l'espace propre associé à chaque valeur propre. En d'autres termes, nous allons trouver l'ensemble des vecteurs qui définissent la direction (ou les directions) inchangée(s) par la transformation pour une valeur propre donnée. Cette compétence est fondamentale pour la diagonalisation et s'appuie directement sur votre maîtrise de la résolution des systèmes d'équations linéaires.

1. Qu'est-ce qu'un espace propre et sa base ?

Pour une valeur propre $\lambda$ donnée, l'ensemble de tous les vecteurs propres $X$ qui satisfont l'équation $AX=\lambda X$ (ou, de manière équivalente, $(A-\lambda I)X=0$), ainsi que le vecteur nul, forme un sous-espace vectoriel. On appelle cet ensemble l'espace propre associé à $\lambda$, et on le note $E_{\lambda }$.

Vous avez déjà étudié le noyau (Ker f) d'une application linéaire. L'espace propre $E_{\lambda }$ n'est rien d'autre que le noyau de l'application associée à la matrice $(A-\lambda I)$.

$E_{\lambda }=\ker (A-\lambda I)$

Puisque $\lambda$ est une valeur propre, on sait que $\det (A-\lambda I)=0$. Cela signifie que la matrice $(A-\lambda I)$ est singulière (non-inversible) et que le système $(A-\lambda I)X=0$ admet une infinité de solutions non nulles. Notre but n'est pas de lister toutes ces solutions, mais de trouver une base de cet espace propre. Une base est un ensemble minimal de vecteurs linéairement indépendants qui peuvent, par combinaison linéaire, générer n'importe quel vecteur de cet espace. La dimension de l'espace propre (le nombre de vecteurs dans sa base) peut être 1 (une droite), 2 (un plan), etc.

La ressource suivante définit formellement cette notion.

2. Détermination de la base : Cas d'une matrice 2x2

La méthode consiste à résoudre le système homogène et à exprimer les solutions en fonction de paramètres libres. Voyons cela avec l'exemple que nous suivons depuis deux leçons.

Soit la matrice $A=\left(\begin{array}{cc}5& -3\\ 6& -4\end{array}\right)$ avec les valeurs propres ${\lambda }_1=-1$ et ${\lambda }_2=2$.

• Pour ${\lambda }_1=-1$ :
  Le système à résoudre est $(A+I)X=0$, ce qui donne :
  $\{\begin{array}{l}6x_1-3x_2=0\\ 6x_1-3x_2=0\end{array}$
  Les deux équations sont identiques et se simplifient en $2x_1-x_2=0$, soit $x_2=2x_1$.
  Nous avons une seule équation pour deux inconnues, il y a donc un paramètre libre. Posons $x_1=t$. Il s'ensuit que $x_2=2t$.
  Le vecteur solution $X$ s'écrit :
  $X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}t\\ 2t\end{array}\right)=t\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$
  Tous les vecteurs propres pour ${\lambda }_1=-1$ sont des multiples du vecteur $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$. Ce vecteur forme donc une base de l'espace propre $E_{-1}$.
  Base de $E_{-1}$ : $\{\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)\}$. La dimension de cet espace est 1 (c'est une droite vectorielle).

Le document suivant montre exactement ce calcul.

3. Détermination de la base : Cas d'une matrice 3x3

La procédure est la même, mais les calculs peuvent être plus longs et mener à des espaces de dimension supérieure à 1. La méthode du pivot de Gauss, que vous avez apprise pour résoudre les systèmes linéaires, est votre principal outil ici.

Considérons une matrice 3x3 et trouvons la base de ses espaces propres. La vidéo suivante est un guide pratique parfait. Elle part des valeurs propres (déjà trouvées) et se concentre entièrement sur la recherche des bases des espaces propres, en détaillant chaque étape du raisonnement.

Reprenons l'exemple de la leçon précédente pour illustrer ce cas d'un espace propre de dimension 2.
Soit la matrice $A=\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& 2\\ 2& 2& -1\\ 2& -1& 2\end{array}\right)$ et la valeur propre $\lambda =3$.
Le système $(A-3I)X=0$ était :
$\{\begin{array}{l}-4x_1+2x_2+2x_3=0\\ 2x_1-x_2-x_3=0\\ 2x_1-x_2-x_3=0\end{array}$
Toutes ces équations sont équivalentes. Nous n'avons qu'une seule contrainte : $2x_1-x_2-x_3=0$.
Il nous faut 3 variables et 1 équation, ce qui nous laisse $3-1=2$ paramètres libres. Exprimons une variable en fonction des deux autres. Par exemple : $x_3=2x_1-x_2$.

Posons $x_1=a$ et $x_2=b$ comme paramètres libres. Le vecteur solution s'écrit :
$X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 2a-b\end{array}\right)$
Maintenant, séparons les termes en $a$ et les termes en $b$, comme dans la vidéo :
$X=\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ 2a\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ -b\end{array}\right)=a\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\end{array}\right)+b\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\end{array}\right)$
Chaque vecteur de l'espace propre $E_3$ est une combinaison linéaire de $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\end{array}\right)$. Ces deux vecteurs sont linéairement indépendants.
Base de $E_3$ : $\{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\end{array}\right)\}$. La dimension de $E_3$ est 2 (c'est un plan vectoriel).

L'image suivante, que nous avions déjà vue, illustre une démarche similaire pour trouver une base d'un espace propre de dimension 2. La base trouvée est différente, mais tout aussi valide, car la base d'un espace vectoriel n'est pas unique.

4. Exercice d'application

Pour consolider ces acquis, reprenons l'exercice de la leçon précédente.
Soit la matrice $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 6& -2\\ 0& -2& 0\\ 1& 3& -3\end{array}\right)$ et ses valeurs propres ${\lambda }_1=-1$ et ${\lambda }_2=-2$.

Vous aviez formulé les systèmes suivants :

1. Pour ${\lambda }_1=-1$ : $\{\begin{array}{l}{x}_1+6x_2-2x_3=0\\ -x_2=0\\ x_1+3x_2-2x_3=0\end{array}$
2. Pour ${\lambda }_2=-2$ : $\{\begin{array}{l}2x_1+6x_2-2x_3=0\\ 0=0\\ x_1+3x_2-x_3=0\end{array}$

Votre tâche : Résolvez chacun de ces systèmes pour trouver une base de l'espace propre correspondant.

Solutions :

1. Pour ${\lambda }_1=-1$ :
   La deuxième équation nous donne directement $x_2=0$.
   En remplaçant $x_2$ par 0 dans la première (ou troisième) équation, on obtient $x_1-2x_3=0$, soit $x_1=2x_3$.
   Posons $x_3=t$ comme paramètre libre. On a $x_1=2t$ et $x_2=0$.
   Le vecteur solution est $X=\left(\begin{array}{c}2t\\ 0\\ t\end{array}\right)=t\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.
   Base de $E_{-1}$ : $\{\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)\}$.

2. Pour ${\lambda }_2=-2$ :
   Les deux équations non nulles sont $2x_1+6x_2-2x_3=0$ et $x_1+3x_2-x_3=0$. La première est le double de la seconde, donc le système se réduit à une seule équation : $x_1+3x_2-x_3=0$.
   Nous avons 2 paramètres libres. Exprimons $x_3$ en fonction de $x_1$ et $x_2$ : $x_3=x_1+3x_2$.
   Posons $x_1=a$ et $x_2=b$.
   Le vecteur solution est $X=\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ a+3b\end{array}\right)$.
   Décomposons-le : $X=\left(\begin{array}{c}a\\ 0\\ a\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ b\\ 3b\end{array}\right)=a\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)+b\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 3\end{array}\right)$.
   Base de $E_{-2}$ : $\{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 3\end{array}\right)\}$.

Conclusion

Félicitations ! Vous savez maintenant comment passer d'une valeur propre à un ensemble concret de vecteurs de base pour l'espace propre associé. C'est l'une des étapes les plus techniques et les plus importantes de l'analyse des matrices.

Les points clés à retenir sont :

• L'espace propre $E_{\lambda }$ est l'ensemble des solutions du système homogène $(A-\lambda I)X=0$.
• Pour trouver une base de $E_{\lambda }$, on résout ce système (souvent par la méthode du pivot de Gauss).
• La solution générale est exprimée en fonction d'un ou plusieurs paramètres libres.
• En décomposant le vecteur solution, on identifie les vecteurs de base, dont le nombre correspond à la dimension de l'espace propre.

Nous avons maintenant tous les "ingrédients" de la diagonalisation : les valeurs propres et les vecteurs propres. Dans la prochaine leçon, nous verrons comment assembler ces éléments pour déterminer si une matrice est diagonalisable et, si c'est le cas, pour construire la matrice diagonale $D$ et la matrice de passage $P$.