Применение второго закона Ньютона при одномерном движении

Здравствуйте! В прошлый раз вы научились находить равнодействующую сил, действующих на одно тело вдоль прямой. Теперь сделаем следующий шаг: что равнодействующая позволяет узнать о движении тела? Второй закон Ньютона связывает её с ускорением и массой. К концу урока вы сможете находить любую из трёх величин — силу, массу или ускорение — и указывать направление там, где оно необходимо. На изучение материала и разбор вычислений отведите около 35–40 минут.

---

От равнодействующей к ускорению

Представьте тележку, на которую действуют две горизонтальные силы: 10 Н вправо и 4 Н влево. Их равнодействующая, как вы уже умеете находить, равна 6 Н вправо. Именно равнодействующая, а не одна из сил по отдельности, определяет ускорение тележки.

Посмотрите начало ролика «Физика 9 класс. §11 Второй закон Ньютона. Учебник Пёрышкина» канала «Короче Физика». Сначала обратите внимание на формулу, затем — на различие между отдельной силой и суммой сил.

Второй закон Ньютона можно записать так:

$$\vec{R}=m\vec{a},$$

где $\vec{R}$ — равнодействующая всех сил, действующих на выбранное тело, $m$ — масса этого тела, $\vec{a}$ — его ускорение. Если известны равнодействующая и масса, закон удобно переписать:

$$\vec{a}=\frac{\vec{R}}{m}.$$

При одной и той же массе большая равнодействующая сообщает большее ускорение. При одной и той же равнодействующей более массивное тело получает меньшее ускорение. Масса здесь характеризует сопротивление тела изменению скорости; она не является силой.

Направления $\vec{R}$ и $\vec{a}$ совпадают. Но направление скорости может быть другим. Например, тележка ещё движется вправо, а равнодействующая направлена влево: тогда ускорение направлено влево и тележка замедляется. Ускорение говорит о том, как меняется скорость, а не обязательно о том, куда тело движется сейчас.

Если равнодействующая равна нулю, то и ускорение равно нулю. Это не требует нулевой скорости: тело может двигаться с постоянной скоростью. Для наших расчётов будем считать массу неизменной и рассматривать движение относительно системы отсчёта, в которой применимы законы Ньютона; в обычных школьных задачах такой системой часто служит система, связанная с Землёй.

---

Как записать закон для движения вдоль прямой

Чтобы не потерять направление при вычислениях, выберите координатную ось вдоль движения и назначьте её положительное направление. Если ось направлена вправо, сила вправо входит в сумму со знаком «плюс», а сила влево — со знаком «минус». Тогда второй закон принимает вид

$$F_{1x}+F_{2x}+\cdots =R_x=m{a}_x.$$

Индекс $x$ означает значение с учётом направления вдоль выбранной оси. Например, $a_x=-3{\text{м/с}}^2$ при оси вправо означает ускорение $3{\text{м/с}}^2$ влево. Масса при этом остаётся положительной.

Применим запись к тележке из начала урока. Пусть её масса равна $2\text{кг}$, а положительное направление оси — вправо. Тогда

$$R_x=10\text{Н}-4\text{Н}=6\text{Н},$$ $$a_x=\frac{R_x}{m}=\frac{6\text{Н}}{2\text{кг}}=3{\text{м/с}}^2.$$

Ответ: ускорение тележки равно $3{\text{м/с}}^2$ вправо. Промежуточные $6\text{Н}$ — равнодействующая двух сил, а не новая, третья сила на схеме тележки.

В единицах СИ масса выражается в килограммах (кг), ускорение — в метрах в секунду за секунду (${\text{м/с}}^2$), сила — в ньютонах (Н). Из закона следует полезная проверка единиц:

$$1\text{Н}=1\text{кг}\cdot {\text{м/с}}^2.$$

Та же запись годится для вертикального движения: можно выбрать положительное направление вверх и учитывать силы вверх со знаком «плюс», а вниз — со знаком «минус».

---

Находим неизвестную величину

При решении задачи начните не с подстановки чисел, а с вопроса: какому телу принадлежит масса и какие силы действуют именно на него? Затем выберите ось, найдите равнодействующую или запишите сумму сил со знаками и лишь после этого выражайте неизвестную. Посмотрим, как это работает в трёх разных ситуациях.

Если неизвестна сила

Пусть тело массой $3\text{кг}$ имеет ускорение $2{\text{м/с}}^2$ влево. Возьмём направление вправо за положительное. Тогда $a_x=-2{\text{м/с}}^2$, поэтому

$$R_x=m{a}_x=3\text{кг}\cdot (-2{\text{м/с}}^2)=-6\text{Н}.$$

Итак, равнодействующая равна 6 Н влево. Если задача спрашивает именно о ней, решение закончено.

Но предположим, что уже известна одна сила — 9 Н влево, — а найти нужно другую силу, действующую вдоль той же прямой. Обозначим её значение с учётом направления через $F_x$. Теперь необходимо учесть обе силы:

$$-9\text{Н}+F_x=-6\text{Н},F_x=3\text{Н}.$$

Неизвестная сила равна 3 Н вправо. Подставить $ma$ как ответ для этой отдельной силы было бы ошибкой: $ma$ даёт сумму сил.

В коротком фрагменте уже знакомого ролика показан более простой случай нахождения силы по массе и ускорению. Сопоставьте его с нашим примером: прежде чем применять $F=ma$, нужно понять, обозначает ли $F$ равнодействующую.

Если неизвестна масса

Пусть на тело действуют 14 Н вправо и 5 Н влево, а его ускорение равно $3{\text{м/с}}^2$ вправо. Равнодействующая составляет $14-5=9\text{Н}$ вправо. Поскольку она и ускорение направлены одинаково, можно взять их модули:

$$m=\frac{R}{a}=\frac{9\text{Н}}{3{\text{м/с}}^2}=3\text{кг}.$$

Это также проверка результата: масса положительна. Если из расчёта получилась отрицательная масса, прежде всего проверьте направления сил, знаки и условие задачи. Когда и равнодействующая, и ускорение равны нулю, по одним только этим данным массу найти нельзя.

Если неизвестно ускорение

Теперь пусть на тело массой $2\text{кг}$ действуют 10 Н вправо и 16 Н влево. При оси вправо получим

$$R_x=10\text{Н}-16\text{Н}=-6\text{Н},a_x=\frac{-6\text{Н}}{2\text{кг}}=-3{\text{м/с}}^2.$$

Ускорение равно $3{\text{м/с}}^2$ влево. Отрицательное число здесь не является отрицательным модулем ускорения: оно сообщает направление относительно выбранной оси. Если тело в этот момент движется вправо, его скорость уменьшается; если движется влево — увеличивается по модулю.

---

Как проверить решение

В задачах на второй закон Ньютона полезно делать две разные проверки. Физическая: направление ускорения должно совпадать с направлением равнодействующей. Вычислительная: единицы и подстановка в исходное уравнение должны сходиться. Например, в последней задаче $2\text{кг}\cdot (-3{\text{м/с}}^2)=-6\text{Н}$, ровно столько же дала сумма сил.

Держите в уме и ещё одно различие: формула $R=ma$ связывает модули равнодействующей и ускорения, когда их направление уже установлено. Запись $R_x=m{a}_x$ сохраняет знаки и потому особенно удобна, когда силы направлены противоположно или неизвестна одна из них. Указание направления словами завершает числовой ответ.

---

Итог

Второй закон Ньютона связывает равнодействующую сил с массой и ускорением тела: $\vec{R}=m\vec{a}$. Для одномерного движения выберите ось и запишите сумму сил со знаками — так можно найти ускорение, массу, равнодействующую или одну из составляющих её сил. Не отождествляйте направление ускорения с направлением скорости и не подменяйте равнодействующую одной отдельной силой.

Следующий урок начнёт разбор конкретного взаимодействия — силы упругости: вы научитесь определять, куда она направлена при растяжении и сжатии пружины.