Равнодействующая сил, направленных вдоль одной прямой

Здравствуйте! На прошлом уроке вы составляли схему сил: выбирали тело и изображали отдельной стрелкой каждую силу, действующую на него. Теперь выясним, как заменить несколько таких сил одной равнодействующей, если все они направлены вдоль одной прямой. Это пригодится уже на следующем уроке, когда мы свяжем равнодействующую с ускорением по второму закону Ньютона.

Сегодня важно научиться находить не только число ньютонов, но и направление итоговой силы. На просмотр видео и разбор примеров отведите около 35–40 минут.

Что именно мы складываем

Представьте тележку, которую одновременно толкают и тянут вправо. Оба воздействия приложены к одной тележке. Их можно заменить одной силой, оказывающей на неё такое же совместное действие. Эту силу называют равнодействующей и обозначают $\vec{R}$.

Правило, по которому учитывают каждую действующую силу, называется принципом суперпозиции: равнодействующая равна векторной сумме сил.

Здесь стрелки над буквами напоминают, что важны и модули сил, и их направления. Модуль равнодействующей $R$, как и модуль любой силы, измеряется в ньютонах (Н).

Складывать таким образом нужно силы, одновременно действующие на одно выбранное тело. Например, силу руки, действующую на тележку, нельзя складывать с силой, с которой тележка действует на руку: это силы, приложенные к разным телам. А на схеме сил тележки, как мы обсуждали ранее, изображают исходные воздействия. Стрелку равнодействующей можно нарисовать отдельно как итог расчёта, но не выдавать её за ещё одно воздействие наряду с исходными силами.

Две силы вдоль одной прямой

Посмотрите два фрагмента урока Павла Виктора. В опытах с динамометром силы действуют на один и тот же стержень: сначала в одну сторону, затем в противоположные. Следите за тем, как изменение направления одной силы меняет правило вычисления.

Если две силы направлены вдоль одной прямой в одну сторону, их модули складывают. Так, для сил 5 Н и 2 Н, направленных вправо, равнодействующая составляет 7 Н вправо.

Если силы направлены в противоположные стороны, из большего модуля вычитают меньший. Равнодействующая направлена в сторону большей силы. Например, сила 5 Н вправо вместе с силой 3 Н влево даёт равнодействующую 2 Н вправо. Вычитание здесь не означает, что меньшая сила «исчезла»: её действие учтено в результате.

Разберите рисунок ниже. Он показывает именно сложение двух горизонтальных сил, а не полную схему всех сил, действующих на брусок.

Поскольку $24\text{Н}$ больше $10\text{Н}$, получаем $R=24-10=14\text{Н}$ вправо. Если же противоположно направленные силы равны по модулю, их равнодействующая равна нулю. У нулевой равнодействующей нет направления. Это не означает, что движущееся тело обязано остановиться: из взаимного уравновешивания сил само по себе не следует, что скорость равна нулю.

Несколько сил: учитываем каждую

Принцип суперпозиции не ограничен двумя силами. Удобно сначала сложить силы, направленные в одну сторону, затем — силы, направленные в другую, и сравнить две полученные суммы.

В коротком фрагменте следующего видео обратите внимание на пример с тремя силами: две направлены вправо, одна — влево. Числовые значения для своего расчёта мы зададим ниже.

Пусть на одно тело действуют силы 6 Н вправо, 4 Н вправо и 3 Н влево. Силы вправо вместе дают 10 Н вправо. После учёта силы влево равнодействующая составляет $10-3=7\text{Н}$ вправо. Замена первых двух сил их промежуточной равнодействующей допустима потому, что она сохраняет их совместное действие на тело.

Для четырёх и более сил тот же способ остаётся удобным. Допустим, на тело действуют 8 Н вправо, 3 Н влево и 6 Н влево. Общий модуль сил влево равен 9 Н, а вправо — 8 Н. Значит, равнодействующая составляет 1 Н влево. Здесь ориентироваться лишь на самую большую отдельную силу было бы ошибкой: две меньшие силы вместе перевешивают её.

Есть и компактный способ записи для любой выбранной прямой. Условимся считать направление вправо положительным, а влево — отрицательным. Тогда для последнего примера сумма с учётом направлений равна

Отрицательный знак сообщает направление — влево; модуль равнодействующей равен $R=1\text{Н}$. Можно было выбрать положительным направление влево: промежуточная сумма изменила бы знак, но физический ответ остался бы тем же. Для вертикальной прямой аналогично можно выбрать положительным направление вверх или вниз.

Полезная проверка ответа — назвать тело, затем перечислить все силы вдоль рассматриваемой прямой и сверить направление результата с большей из сумм по сторонам. Если суммы равны, результат нулевой; если нет, направление задаёт большая сумма.

Итог

Равнодействующая заменяет совместное действие нескольких сил на одно тело. Для сил вдоль одной прямой складывайте модули сил каждого направления и вычитайте меньшую сумму из большей. Разность даёт модуль равнодействующей, большая сумма — её направление; при равных суммах равнодействующая равна нулю.

Теперь вы умеете переходить от схемы отдельных сил к их общему результату. В следующем уроке используем этот результат во втором законе Ньютона, чтобы находить силу, массу или ускорение при одномерном движении.