Tester la définie positivité ou négativité d’une matrice symétrique

Bon retour. La leçon précédente a établi le lien entre une forme quadratique $q (x) = x^{⊤} A x$ et sa matrice symétrique associée : les valeurs propres de $A$ déterminent le signe de $q$ . Tu sais donc déjà interpréter une diagonalisation orthogonale.

L’objectif maintenant est plus opérationnel : pour une matrice symétrique, savoir conclure rapidement qu’elle est définie positive ou définie négative, soit par ses valeurs propres, soit sans les calculer explicitement grâce au critère de Sylvester. Ce sera l’outil central pour étudier les hessiennes en optimisation.

1. Le test spectral : la méthode de référence

Soit $A$ une matrice réelle symétrique de taille $n$ . Ses valeurs propres sont réelles et elle se diagonalise dans une base orthonormée. Si ses valeurs propres sont

λ_{1}, \dots, λ_{n},

alors la forme quadratique associée peut s’écrire, dans des coordonnées bien choisies,

x^{⊤} A x = λ_{1} y_{1}^{2} + \dots + λ_{n} y_{n}^{2} .

Comme les $y_{i}^{2}$ sont toujours positifs ou nuls, le signe de la forme — donc celui de la matrice — dépend uniquement des signes des valeurs propres.

Valeurs propres de $A$	Nature de $A$
Toutes strictement positives	Définie positive
Toutes positives ou nulles	Semi-définie positive
Toutes strictement négatives	Définie négative
Toutes négatives ou nulles	Semi-définie négative
Au moins une positive et une négative	Indéfinie

La forme stricte est essentielle :

A d e ˊ finie positive ⟺ λ_{i} > 0 pour tout i .

De même,

A d e ˊ finie n e ˊ gative ⟺ λ_{i} < 0 pour tout i .

Exemple : diagnostic immédiat par valeurs propres

Considérons

C = (1221) .

Son polynôme caractéristique est

det (C - λ I) = (1 - λ)^{2} - 4.

On obtient donc

λ_{1} = 3, λ_{2} = - 1.

Une valeur propre est positive, l’autre négative : $C$ est indéfinie.

Cela signifie qu’il existe des directions dans lesquelles $x^{⊤} C x$ est positif, et d’autres où il est négatif. Par exemple,

(11) C (11) = 6,

tandis que

(1 - 1) C (1 - 1) = - 2.

En pratique, la méthode spectrale est particulièrement utile lorsque :

les valeurs propres sont faciles à lire ou à calculer ;
la matrice est déjà diagonale ou diagonalement proche ;
un logiciel de calcul fournit les valeurs propres ;
on doit aussi distinguer les cas semi-définis et indéfinis.

2. Les mineurs principaux dominants

Calculer des valeurs propres devient vite fastidieux pour une matrice de taille $3 \times 3$ ou davantage. Le critère de Sylvester évite ce calcul lorsqu’on cherche seulement à établir une définition positive ou négative stricte.

Pour une matrice symétrique

A = a_{11} a_{21} ⋮ a_{n 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{n 2} \dots \dots ⋱ \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{nn},

on définit les mineurs principaux dominants :

Δ_{1} = det (a_{11}),

Δ_{2} = det (a_{11} a_{21} a_{12} a_{22}),

et ainsi de suite, jusqu’à

Δ_{n} = det (A) .

Autrement dit, on prend successivement les blocs situés dans le coin supérieur gauche.

Pour une matrice $3 \times 3$ ,

A = a b c b d e c e f,

on a

Δ_{1} = a,

Δ_{2} = det (a b b d),

Δ_{3} = det (A) .

Le CRITÈRE DE SYLVESTER (MINEURS PRINCIPAUX) pour Trouver le SIGNE d'une FORME QUADRATIQUE - Méthode

La vidéo « Le critère de Sylvester (mineurs principaux) pour trouver le signe d'une forme quadratique » de Fabinou montre le calcul concret des mineurs dominants et leur emploi pour les cas strictement positif, négatif et indéfini.

Regarde d’abord les mineurs et le test strict : repère bien que les déterminants sont calculés sur des blocs successifs partant du coin supérieur gauche. Puis regarde les cas négatif et indéfini, en vérifiant à chaque fois la succession des signes des déterminants.

3. Critère de Sylvester pour la définition positive

Le critère s’énonce ainsi.

Soit $A$ une matrice réelle symétrique. Alors $A$ est définie positive si et seulement si tous ses mineurs principaux dominants sont strictement positifs :
$Δ_{1} > 0, Δ_{2} > 0, \dots, Δ_{n} > 0.$

Pour une matrice symétrique $2 \times 2$ ,

A = (a b b c),

cela devient le test très utile :

A d e ˊ finie positive ⟺ a > 0 et a c - b^{2} > 0.

Exemple : une matrice définie positive

Considérons

A = 210131012 .

Calculons les mineurs dominants :

Δ_{1} = 2 > 0.

Δ_{2} = det (2113) = 6 - 1 = 5 > 0.

Enfin,

Δ_{3} = det (A) = 8 > 0.

Les trois mineurs sont strictement positifs. Par le critère de Sylvester,

A ≻ 0.

La matrice est donc définie positive. Sa forme quadratique vérifie

x^{⊤} A x > 0 pour tout x \neq = 0.

Ici, les valeurs propres sont d’ailleurs $1$ , $2$ et $4$ , ce qui confirme le diagnostic spectral.

Le critère de Sylvester ne donne donc pas une conclusion différente de celle des valeurs propres : il fournit une voie de calcul plus courte vers la même propriété.

4. Critère de Sylvester pour la définition négative

Une matrice $A$ est définie négative si son opposée est définie positive :

A ≺ 0 ⟺ - A ≻ 0.

Or, si $Δ_{k}$ désigne le déterminant du bloc dominant de taille $k$ de $A$ , alors celui du bloc correspondant de $- A$ est

(- 1)^{k} Δ_{k} .

Le critère de Sylvester appliqué à $- A$ donne donc :

A ≺ 0 ⟺ (- 1)^{k} Δ_{k} > 0 pour tout k .

Autrement dit, les signes doivent alterner :

Δ_{1} < 0, Δ_{2} > 0, Δ_{3} < 0, Δ_{4} > 0, \dots

Pour une matrice $2 \times 2$ ,

A = (a b b c),

on obtient le raccourci suivant :

A d e ˊ finie n e ˊ gative ⟺ a < 0 et a c - b^{2} > 0.

Remarque importante : le déterminant doit être positif dans les deux cas, définie positive et définie négative. Le signe du premier mineur, donc de $a_{11}$ , permet de les distinguer.

Exemple : une matrice définie négative

Soit

B = - 2 10 1 - 3 1 01 - 2 .

Les mineurs principaux dominants sont :

Δ_{1} = - 2 < 0,

Δ_{2} = det (- 2 1 1 - 3) = 6 - 1 = 5 > 0,

Δ_{3} = det (B) = - 8 < 0.

La suite de signes est donc

-, +, - .

Elle correspond exactement au critère de Sylvester pour une matrice définie négative. Ainsi,

B ≺ 0.

Sa forme quadratique vérifie donc

x^{⊤} B x < 0 pour tout x \neq = 0.

On peut aussi remarquer que

- B = 2 - 1 0 - 1 3 - 1 0 - 1 2

est définie positive : ses mineurs dominants valent $2$ , $5$ et $8$ .

5. Ce que le critère ne permet pas de conclure

Le critère de Sylvester, sous sa forme fondée sur les mineurs dominants, porte sur les matrices strictement définies positives ou négatives.

Il serait faux de remplacer les inégalités strictes par des inégalités larges. En particulier,

Δ_{1} \geq 0, \dots, Δ_{n} \geq 0

ne suffit pas pour conclure qu’une matrice est semi-définie positive.

Considérons par exemple

D = (00 0 - 1) .

Ses mineurs dominants sont

Δ_{1} = 0, Δ_{2} = 0.

Ils sont bien positifs ou nuls. Pourtant,

(01) D (01) = - 1 < 0.

La matrice n’est donc pas semi-définie positive ; elle est semi-définie négative.

Pour certifier qu’une matrice symétrique est semi-définie positive, on peut :

examiner ses valeurs propres et vérifier qu’elles sont toutes positives ou nulles ;
ou vérifier que tous ses mineurs principaux, et non seulement les mineurs dominants, sont positifs ou nuls.

Dans les applications d’optimisation, la méthode des valeurs propres est souvent la plus sûre lorsqu’un mineur dominant est nul.

6. Cas $2 \times 2$ : une grille de décision très rapide

Pour

A = (a b b c),

pose

Δ_{1} = a, Δ_{2} = det (A) = a c - b^{2} .

Tu peux alors utiliser la table suivante.

Conditions sur les mineurs	Conclusion
$Δ_{1} > 0$ et $Δ_{2} > 0$	$A$ est définie positive
$Δ_{1} < 0$ et $Δ_{2} > 0$	$A$ est définie négative
$Δ_{2} < 0$	$A$ est indéfinie
$Δ_{2} = 0$	Cas non strict : utiliser les valeurs propres ou une étude directe de la forme
$Δ_{1} > 0$ et $Δ_{2} < 0$	Indéfinie
$Δ_{1} < 0$ et $Δ_{2} < 0$	Indéfinie

Pourquoi le cas $det (A) < 0$ implique-t-il l’indéfinition ? Parce que, pour une matrice $2 \times 2$ , le déterminant est le produit des valeurs propres :

det (A) = λ_{1} λ_{2} .

Un produit négatif impose une valeur propre positive et une valeur propre négative.

En revanche, un déterminant positif ne suffit jamais seul. Il peut correspondre soit à deux valeurs propres positives, soit à deux valeurs propres négatives. Il faut alors regarder le premier mineur ou, de façon équivalente, la trace.

7. Choisir efficacement la méthode

Face à une matrice symétrique, adopte la procédure suivante.

Vérifier la symétrie.
Les critères étudiés concernent les matrices symétriques, notamment les matrices hessiennes des fonctions de classe $C^{2}$ .
Regarder la taille et la structure de la matrice.
- Matrice diagonale : lire directement les signes de la diagonale.
- Matrice $2 \times 2$ : utiliser immédiatement les deux mineurs.
- Matrice $3 \times 3$ avec coefficients simples : Sylvester est souvent le plus rapide.
- Matrice de grande taille ou calcul numérique : les valeurs propres sont généralement plus informatives.
Appliquer le bon motif de signes.

Propri e ˊ t e ˊ recherch e ˊ e D e ˊ finie positive D e ˊ finie n e ˊ gative Mineurs dominants +, +, +, \dots -, +, -, +, \dots

Ne pas surinterpréter un échec du critère strict.
Si l’un des mineurs est nul, la matrice peut être semi-définie ou indéfinie. Les valeurs propres permettent alors de trancher.

À retenir : pour une matrice symétrique, les valeurs propres constituent le critère conceptuel complet. Toutes strictement positives signifie définie positive ; toutes strictement négatives signifie définie négative. Le critère de Sylvester donne un raccourci calculatoire : les mineurs dominants doivent être tous positifs dans le premier cas, puis alterner en commençant par un signe négatif dans le second.

Dans la prochaine leçon, ces tests seront appliqués à une matrice hessienne afin de décider si une fonction de plusieurs variables est convexe, concave, ou présente une courbure de type selle.

Recommended resources