Déterminer le signe d’une forme quadratique via sa matrice associée

Bonjour ! Ce premier module consolide les outils d’algèbre linéaire qui serviront immédiatement en optimisation : d’abord les formes quadratiques, puis les hessiennes, les contraintes et les multiplicateurs de Lagrange.

Tu maîtrises déjà la diagonalisation ; l’objectif est donc de relier ce savoir à un nouvel objet : une forme quadratique. À la fin de cette leçon, tu sauras passer d’une expression quadratique à sa matrice symétrique associée, puis décider si la forme est définie positive, définie négative, semi-définie ou indéfinie en lisant une diagonalisation de cette matrice.

Compter environ 40 minutes, dont une dizaine de minutes de ressource guidée.

1. Ce que signifie le « signe » d’une forme quadratique

Une forme quadratique sur $R^{n}$ est une fonction qui s’écrit

q (x) = x^{⊤} A x,

où $x$ est un vecteur colonne et $A$ est une matrice symétrique.

Dans $R^{2}$ , une forme quadratique a l’allure générale

q (x_{1}, x_{2}) = a x_{1}^{2} + 2 b x_{1} x_{2} + c x_{2}^{2},

avec pour matrice associée

A = (a b b c) .

Le mot signe ne désigne pas ici le signe d’un nombre isolé. Il décrit le comportement de $q (x)$ pour tous les vecteurs $x$ .

Nature de la forme $q$	Condition sur $q (x)$
Définie positive	$q (x) > 0$ pour tout $x \neq = 0$
Semi-définie positive	$q (x) \geq 0$ pour tout $x$
Définie négative	$q (x) < 0$ pour tout $x \neq = 0$
Semi-définie négative	$q (x) \leq 0$ pour tout $x$
Indéfinie	$q$ prend des valeurs positives et négatives

Deux détails sont essentiels :

Toute forme quadratique vérifie $q (0) = 0$ . On n’exige donc jamais $q (x) > 0$ en $x = 0$ .
Une forme semi-définie positive peut s’annuler sur des vecteurs non nuls. Elle n’est alors pas définie positive.

Par exemple,

q (x_{1}, x_{2}) = (x_{1} + x_{2})^{2}

est semi-définie positive, car un carré est toujours positif ou nul. Mais

q (1, - 1) = 0

alors que $(1, - 1) \neq = 0$ : elle n’est donc pas définie positive.

À l’inverse,

q (x_{1}, x_{2}) = x_{1}^{2} - x_{2}^{2}

est indéfinie : $q (1, 0) = 1$ , tandis que $q (0, 1) = - 1$ .

Cette surface en selle représente une forme quadratique indéfinie : selon certaines directions dans le plan $(x_1,x_2)$, la hauteur $z=q(x_1,x_2)$ augmente ; selon d’autres, elle diminue. L’origine n’est donc ni un minimum ni un maximum.

En optimisation, cette distinction deviendra le prolongement multidimensionnel du signe de la dérivée seconde : une courbure positive dans toutes les directions correspond à une forme définie positive ; des courbures de signes opposés signalent une selle.

2. Construire la matrice symétrique associée

Le point technique le plus fréquent est le traitement des termes croisés.

q (x_{1}, \dots, x_{n}) = i = 1 \sum n a_{i} x_{i}^{2} + i < j \sum c_{ij} x_{i} x_{j},

alors la matrice symétrique associée $A = (a_{ij})$ est construite ainsi :

le coefficient de $x_{i}^{2}$ va directement sur la diagonale : $a_{ii} = a_{i}$ ;
le coefficient $c_{ij}$ de $x_{i} x_{j}$ est partagé entre les deux positions symétriques :

a_{ij} = a_{j i} = \frac{c _{ij}}{2} .

La raison est mécanique. Dans le produit $x^{⊤} A x$ , les deux termes hors diagonale produisent

a_{ij} x_{i} x_{j} + a_{j i} x_{j} x_{i} = 2 a_{ij} x_{i} x_{j},

puisque $A$ est symétrique.

Forme quadratique : exercice typique

Regarde « Forme quadratique : exercice typique » de Pascal Ortiz. La vidéo montre clairement le passage d’une expression polynomiale à sa matrice symétrique, en insistant sur la division par deux des coefficients croisés.

Regarde la construction de matrice. L’exemple est en dimension trois : repère d’abord les coefficients des carrés sur la diagonale, puis vérifie pourquoi les coefficients de xy, xz et yz sont divisés par deux avant d’être placés symétriquement hors diagonale.

Considérons par exemple

q (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 5 x_{1}^{2} + 3 x_{2}^{2} + 2 x_{3}^{2} - x_{1} x_{2} + 8 x_{2} x_{3} .

La diagonale contient immédiatement les coefficients des carrés :

a_{11} = 5, a_{22} = 3, a_{33} = 2.

Pour les termes croisés :

- x_{1} x_{2} ⟹ a_{12} = a_{21} = - \frac{1}{2},

8 x_{2} x_{3} ⟹ a_{23} = a_{32} = 4.

La matrice associée est donc

A = 5 - \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} 34 042 .

Le test de vérification consiste à développer $x^{⊤} A x$ . Les coefficients diagonaux apparaissent une fois, et chaque coefficient hors diagonale apparaît deux fois.

[PDF] 12. Matrices symétriques et matrices définies positives - GERAD

Lis ce court extrait du support de GERAD pour fixer l’interprétation de x^\top A x et le lien entre une matrice symétrique définie positive et sa forme quadratique.

Aux pages 14 à 15, dans la partie « Énergie d’une matrice (forme quadratique) », lis l’exemple en dimension deux. Suis le développement de x^\top A x et observe que le coefficient d’un terme croisé est bien deux fois le coefficient situé hors diagonale dans la matrice.

Une précision utile : pourquoi imposer une matrice symétrique ?

On pourrait partir d’une matrice quelconque $B$ , mais la forme

x^{⊤} B x

ne dépend en réalité que de sa partie symétrique :

\frac{B + B ^{⊤}}{2} .

En effet,

x^{⊤} B x = x^{⊤} (\frac{B + B ^{⊤}}{2}) x .

La partie antisymétrique ne contribue donc pas à la forme quadratique. Retenir une matrice symétrique associée permet d’avoir une représentation unique et de pouvoir exploiter le théorème spectral.

3. La diagonalisation révèle le signe

Soit $A$ une matrice symétrique. Elle admet une diagonalisation orthogonale :

A = U Λ U^{⊤},

où $U$ est une matrice orthogonale et

Λ = λ_{1} 0 ⋱ 0 λ_{n}

contient les valeurs propres réelles de $A$ .

Posons le changement de coordonnées

y = U^{⊤} x .

Alors

q (x) = x^{⊤} A x = x^{⊤} U Λ U^{⊤} x = y^{⊤} Λ y = λ_{1} y_{1}^{2} + \dots + λ_{n} y_{n}^{2} .

C’est le résultat central de la leçon : dans une base orthonormée de vecteurs propres, une forme quadratique devient une somme de carrés pondérés par les valeurs propres.

Comme $U$ est inversible,

x \neq = 0 ⟺ y \neq = 0.

Le signe de $q$ est donc entièrement déterminé par le signe des valeurs propres de $A$ .

Valeurs propres de $A$	Signe de $q (x) = x^{⊤} A x$
Toutes strictement positives	Définie positive
Toutes positives ou nulles, avec au moins une nulle	Semi-définie positive, non définie positive
Toutes strictement négatives	Définie négative
Toutes négatives ou nulles, avec au moins une nulle	Semi-définie négative, non définie négative
Au moins une positive et au moins une négative	Indéfinie

Le cas particulier où toutes les valeurs propres sont nulles correspond à la forme nulle. Elle est à la fois semi-définie positive et semi-définie négative.

Exemple : une forme définie positive

Considérons

q (x_{1}, x_{2}) = 2 x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + 2 x_{2}^{2} .

La matrice associée est

A = (2112) .

Son polynôme caractéristique vaut

det (A - λ I) = (2 - λ)^{2} - 1.

Les valeurs propres sont donc

λ_{1} = 1, λ_{2} = 3.

Elles sont toutes deux strictement positives. Par conséquent,

q (x) > 0 pour tout x \neq = 0,

et la forme est définie positive.

On peut le confirmer directement par réduction en carrés :

q (x_{1}, x_{2}) = 2 (x_{1} + \frac{x _{2}}{2})^{2} + \frac{3}{2} x_{2}^{2} .

Les deux termes sont positifs ou nuls, et leur somme ne peut être nulle que si $x_{1} = x_{2} = 0$ .

Exemple : une forme semi-définie positive

Pour

q (x_{1}, x_{2}) = x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2},

la matrice est

A = (1111) .

Ses valeurs propres sont $2$ et $0$ . Donc $q$ est semi-définie positive.

Cette conclusion est visible sans calcul spectral :

q (x_{1}, x_{2}) = (x_{1} + x_{2})^{2} .

Le vecteur non nul $(1, - 1)$ annule la forme. C’est exactement ce qui empêche le qualificatif « définie positive ».

4. Détecter rapidement une forme indéfinie

Lorsqu’on veut démontrer qu’une forme est indéfinie, il suffit de trouver :

un vecteur $u$ tel que $q (u) > 0$ ;
un vecteur $v$ tel que $q (v) < 0$ .

Pour une matrice symétrique

A = (a_{ij}),

on a notamment

q (e_{i}) = e_{i}^{⊤} A e_{i} = a_{ii},

où $e_{i}$ est le $i$ -ème vecteur de la base canonique. Ainsi, si deux coefficients diagonaux sont de signes opposés, la forme est immédiatement indéfinie.

Considérons

A = (12 2 - 3) .

La forme associée est

q (x_{1}, x_{2}) = x_{1}^{2} + 4 x_{1} x_{2} - 3 x_{2}^{2} .

Or,

q (1, 0) = 1 > 0

q (0, 1) = - 3 < 0.

Donc $q$ est indéfinie. Il est inutile, dans ce cas précis, de calculer les valeurs propres.

Attention toutefois : avoir des coefficients diagonaux tous positifs ne suffit pas à conclure que la forme est définie positive. Par exemple,

A = (1221)

a une diagonale positive, mais

q (1, - 1) = (1 - 1) A (1 - 1) = - 2.

La forme n’est donc pas définie positive ; elle est même indéfinie. Les termes croisés peuvent renverser le signe dans certaines directions.

5. Méthode de travail à retenir

Face à une forme quadratique, adopte systématiquement cette procédure.

Vérifier la nature quadratique.
L’expression ne doit comporter que des monômes de degré deux, comme $x_{i}^{2}$ ou $x_{i} x_{j}$ ; ni terme constant, ni terme linéaire.
Construire la matrice symétrique $A$ .
Les carrés donnent la diagonale ; les termes croisés sont divisés par deux et placés de manière symétrique.
Écrire la forme sous la forme matricielle.

q (x) = x^{⊤} A x .

Chercher une information de signe adaptée.
- Si $A$ est diagonale : lire directement les signes de la diagonale.
- Si des vecteurs simples donnent des valeurs de signes opposés : conclure immédiatement à l’indéfinition.
- Si une diagonalisation ou les valeurs propres sont accessibles : appliquer le tableau de classification ci-dessus.
- Si la forme se réécrit aisément comme somme ou différence de carrés : lire son signe dans cette écriture.
Distinguer soigneusement les cas stricts et semi-définis.
Une seule valeur propre nulle, ou un seul vecteur non nul qui annule $q$ , empêche de conclure à la définie-positivité ou à la définie-négativité.

En résumé, une forme quadratique est décrite par une matrice symétrique $A$ via $q (x) = x^{⊤} A x$ . La diagonalisation orthogonale transforme cette expression en somme $\sum_{i} λ_{i} y_{i}^{2}$ : les signes des valeurs propres déterminent alors exactement le signe de la forme. Les termes croisés exigent une vigilance particulière : leur coefficient doit être divisé par deux dans la matrice associée.

La prochaine leçon rendra ce diagnostic plus opérationnel : tu utiliseras systématiquement les valeurs propres et le critère de Sylvester pour tester si une matrice symétrique est définie positive ou négative, sans devoir toujours écrire une diagonalisation complète.

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