Asal Çarpanlarla EBOB ve EKOK Hesaplama

EBOB ve EKOK Nedir?

Hesaplama yöntemlerine geçmeden önce, bu iki kavramın ne anlama geldiğini netleştirelim.

• En Büyük Ortak Bölen (EBOB): İki veya daha fazla sayıyı kalansız olarak bölebilen en büyük tam sayıdır. Örneğin, 12 ve 18 sayılarının ortak bölenleri 1, 2, 3 ve 6'dır. Bunların en büyüğü 6 olduğu için EBOB(12, 18) = 6 olur. EBOB, Obeb (Ortak Bölenlerin En Büyüğü) olarak da isimlendirilir.
• En Küçük Ortak Kat (EKOK): İki veya daha fazla sayının ortak katı olan en küçük pozitif tam sayıdır. Örneğin, 12'nin katları (12, 24, 36, 48...) ve 18'in katları (18, 36, 54...) arasında en küçük ortak sayı 36'dır. Bu yüzden EKOK(12, 18) = 36 olur. EKOK, Okek (Ortak Katların En Küçüğü) olarak da bilinir.

Aşağıdaki kaynak, bu tanımları basit örneklerle açıklayarak konuya iyi bir giriş yapıyor.

Hesaplama Yöntemi: Asal Çarpan Algoritması

Sayılar büyüdüğünde veya ikiden fazla olduğunda, bölenleri ve katları tek tek yazmak pratik değildir. Neyse ki, önceki derste öğrendiğimiz asal çarpanlara ayırma tekniği, bu iş için sistematik bir algoritma sunar. Yöntem şu adımlardan oluşur:

1. Sayılar yan yana yazılır ve sağına dikey bir çizgi çekilir.
2. En küçük asal sayıdan (2'den) başlayarak sayılardan en az birini bölen asal sayılarla bölme işlemi yapılır.
3. Bir asal sayı, o satırdaki tüm sayıları bölüyorsa, bu asal sayı işaretlenir (yanına yıldız koymak veya daire içine almak yaygın bir yöntemdir).
4. Tüm sayıların altında 1 kalana kadar işleme devam edilir.

Hesaplama kuralları ise şöyledir:

• EBOB: Sadece işaretlenen asal sayıların çarpımıdır.
• EKOK: Çizginin sağındaki tüm asal sayıların çarpımıdır.

Aşağıdaki görsel, bu algoritmayı 20 ve 25 sayıları için adım adım göstermektedir. EBOB için sadece ortak bölen olan 5'in alındığına, EKOK için ise tüm bölenlerin (2, 2, 5, 5) çarpıldığına dikkat edin.

Şimdi bu algoritmanın nasıl işlediğini bir video anlatımıyla görelim. Eğitmen, EBOB ve EKOK'u aynı anda nasıl bulacağımızı pratik bir şekilde gösteriyor.

Bu yöntemi pekiştirmek için farklı sayılarla bir örnek daha inceleyelim.

Üslü İfade Şeklinde Verilen Sayılarda EBOB ve EKOK

ALES'te bazen sayılar doğrudan verilmek yerine asal çarpanlarına ayrılmış (üslü) halde verilir. Bu durum aslında işimizi daha da kolaylaştırır çünkü algoritmayı çalıştırmamıza gerek kalmaz. Kurallar şöyledir:

• EBOB: Ortak olan asal tabanlardan üssü küçük olanlar alınır ve çarpılır.
• EKOK: Ortak olan asal tabanlardan üssü büyük olanlar ile ortak olmayan tüm tabanlar alınır ve çarpılır.

Örneğin, $A=2^3\cdot 3^2\cdot 5$ ve $B=2^2\cdot 3^4\cdot 7$ sayılarını ele alalım.

• EBOB(A, B): Ortak tabanlar 2 ve 3'tür. Üssü küçük olanları seçeriz: $2^2$ ve $3^2$. O halde EBOB = $2^2\cdot 3^2=36$.
• EKOK(A, B): Tüm tabanlar 2, 3, 5 ve 7'dir. Üssü büyük olanları ve ortak olmayanları alırız: $2^3$, $3^4$, $5^1$, $7^1$. O halde EKOK = $2^3\cdot 3^4\cdot 5\cdot 7$.

Aşağıdaki görsel, bu kuralın hem sayılar hem de cebirsel ifadeler için nasıl uygulandığını gösteren üç farklı örnek sunmaktadır. Özellikle (e) örneği, kuralın pratikliğini çok net ortaya koymaktadır.

Şimdi bu kuralın ALES tarzı bir soruda nasıl kullanıldığını bir video ile görelim.

Özet ve Sonraki Adımlar

Bu derste iki veya daha fazla sayının EBOB ve EKOK'unu hesaplamak için asal çarpanlara dayalı iki temel yöntemi öğrendik.

• Asal Çarpan Algoritması (Bölen Listesi): Sayıları yan yana yazıp asal bölen listesi oluşturarak EBOB (işaretli bölenlerin çarpımı) ve EKOK (tüm bölenlerin çarpımı) bulma yöntemidir. Bu, en temel ve güvenilir yöntemdir.
• Üslü İfade Kuralı: Sayılar asal çarpanlarına ayrılmış halde verildiğinde, EBOB için ortak tabanların en küçük üsleri, EKOK için ise tüm tabanların en büyük üsleri alınarak hesaplama yapılır. Bu, ALES için zaman kazandıran önemli bir tekniktir.

Artık EBOB ve EKOK'u nasıl hesaplayacağımızı biliyoruz. Bir sonraki dersimizde, bu temel beceriyi bir adım öteye taşıyacağız. EBOB ve EKOK'un aralarındaki ilişki ($EBOB(a,b)\cdot EKOK(a,b)=a\cdot b$) gibi önemli özellikleri inceleyecek ve bu bilgileri ALES'te karşımıza çıkan periyodik tekrar, paylaştırma ve gruplama gibi problem türlerini çözmek için nasıl kullanacağımızı öğreneceğiz.