Asal Çarpanlara Ayırma ve Pozitif Bölen Sayısı

Sayıların DNA'sı: Asal Çarpanlara Ayırma

Her pozitif tam sayı (1'den büyük), ya kendisi bir asal sayıdır ya da benzersiz bir şekilde asal sayıların çarpımı olarak ifade edilebilir. Tıpkı bir molekülün atomlardan oluşması gibi, sayılar da asal sayılardan oluşur. Bu temel prensibe "Aritmetiğin Temel Teoremi" denir.

Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak, onu bu temel asal sayıların üslü çarpımı şeklinde yazmak demektir. Örneğin, 12 sayısını $2^2\cdot 3^1$ olarak yazarız. Buradaki 2 ve 3, 12'nin asal çarpanlarıdır.

Bu işlemi yapmanın en yaygın ve güvenilir yolu Bölen Listesi Yöntemi'dir. Bu yöntemde, sayı en küçük asal sayı olan 2'den başlayarak bölünür ve bölme işlemi, bölüm 1 olana kadar ardışık asal sayılarla devam eder.

Aşağıdaki kaynak, asal çarpanlara ayırma işlemini tanımı ve yöntemiyle birlikte net bir şekilde açıklıyor.

Pozitif Bölen Sayısını (PBS) Bulma Formülü

Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırdıktan sonra, o sayının kaç tane pozitif tam sayı böleni olduğunu bulmak için basit bir formülümüz var. Sayımız $A=x^a\cdot y^b\cdot z^c$ şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış olsun (burada x, y, z farklı asal sayılar, a, b, c ise pozitif tam sayılardır).

Bu sayının pozitif bölen sayısı (PBS) şu formülle bulunur:

Yani, her bir asal çarpanın üssünü bir artırıp sonuçları birbiriyle çarparız.

Aşağıdaki görsel, bu formülü ve 12 sayısı üzerinden basit bir uygulamasını özetlemektedir.

Şimdi bu formülün pratikte nasıl çalıştığını ve neden bu kadar kullanışlı olduğunu bir video anlatımıyla pekiştirelim. Eğitmen, 60 sayısının bölenlerini önce tek tek saymaya çalışıp bir tanesini gözden kaçırarak formülün gücünü etkili bir şekilde gösteriyor.

Formülün Kapsamını Genişletmek: ALES'te Karşılaşabileceğiniz Diğer Soru Tipleri

ALES'te sorular genellikle sadece pozitif bölen sayısını sormakla kalmaz. Konsepti biraz daha derinleştirerek tam bölen sayısı, asal olmayan bölen sayısı, tek/çift bölen sayısı veya belirli bir sayının katı olan bölenlerin sayısını sorabilir. Tüm bu varyasyonların çözümü yine asal çarpanlara ayırma ve temel PBS formülüne dayanır.

• Negatif Bölen Sayısı (NBS) ve Tam Bölen Sayısı (TBS): Her pozitif bölenin bir de negatif karşılığı vardır. Dolayısıyla, NBS = PBS. Tam bölenlerin sayısı ise pozitif ve negatiflerin toplamıdır: TBS = 2 × PBS.
• Asal Olmayan Pozitif Bölen Sayısı: Toplam pozitif bölen sayısından, asal olan bölenlerin sayısını (yani tabandaki farklı asal sayıların adedini) çıkararak bulunur.
• Çift Bölen Sayısı: Sayının tüm pozitif bölenlerinden tek olanları çıkararak bulabiliriz (PBS - TPBS). Veya daha pratik bir yol: Sayının içinden bir tane 2 çarpanını ayırıp, geri kalan ifadenin pozitif bölen sayısını hesaplayabiliriz.
• Tek Bölen Sayısı (TPBS): Sayının asal çarpanları arasındaki 2 çarpanını tamamen yok sayıp, sadece tek asal çarpanların üslerini kullanarak PBS formülünü uygularız.
• k'nın Katı Olan Bölen Sayısı: Sayının içinden k çarpanını ayırıp, geriye kalan ifadenin pozitif bölen sayısını hesaplarız.

Bu yöntemlerin tamamını 120 sayısı üzerinden uygulayan aşağıdaki videoyu izleyerek konuyu bütüncül bir şekilde kavrayabilirsiniz.

Bilgiyi Sınama: ALES Tarzı Uygulamalar

Teoriyi ve yöntemleri öğrendiğimize göre, şimdi ALES'te karşınıza çıkabilecek türden sorularla pratik yapma zamanı.

Uygulama 1: Kavramsal Soru

"İki basamaklı ve 3 tane pozitif böleni olan kaç farklı doğal sayı vardır?"

Bu soru, doğrudan bir sayı verip bölen sayısını sormak yerine, bölen sayısını verip sayının özelliklerini sorgular. Bu tür sorularda formülü tersten düşünmek gerekir.

• Bir sayının 3 tane pozitif böleni varsa, PBS formülü $(a+1)(b+1)...=3$ olmalıdır.
• 3 bir asal sayı olduğu için, bu ancak tek bir çarpanla, $a+1=3$ yani $a=2$ şeklinde mümkün olabilir.
• Bu demektir ki, aradığımız sayı $x^2$ formatında, yani bir asal sayının karesi olmalıdır.

Bu mantığı ve çözümünü aşağıdaki videodan izleyebilirsiniz.

Uygulama 2: Değişkenli Soru

"A = 1200...0 sayısının (sonda n tane sıfır var) pozitif bölen sayısı 160 ise, bu sayı kaç basamaklıdır?"

Bu soru tipi, asal çarpanlara ayırma bilgisini üslü sayılarla birleştirir ve ALES'in sayısal mantık bölümünde sıkça görülür.

• Öncelikle sayı $12\cdot 10^n$ olarak ifade edilir.
• Sonra ifade tamamen asal çarpanlarına ayrılır: $12=2^2\cdot 3^1$ ve $10^n=2^n\cdot 5^n$.
• İfade toparlanır: $A=2^{n+2}\cdot 3^1\cdot 5^n$.
• Son olarak, bu ifadeye PBS formülü uygulanarak verilen 160'a eşitlenir ve n bulunur.

Bu karmaşık görünen ama adımları takip edildiğinde oldukça basit olan sorunun çözümünü aşağıdaki videodan izleyebilirsiniz.

Özet ve Sonraki Adımlar

Bu dersimizde sayıları analiz etme konusunda güçlü bir araç öğrendik. Önemli çıkarımlarımız şunlar:

• Asal Çarpanlara Ayırma: Her sayıyı, onu oluşturan asal sayıların üslü çarpımı şeklinde yazma işlemidir.
• Pozitif Bölen Sayısı (PBS) Formülü: Bir sayının asal çarpanlarının üslerini birer artırıp çarparak o sayının kaç tane pozitif böleni olduğunu kesin olarak bulabiliriz: $\text{PBS}=(a+1)(b+1)(c+1)$.
• ALES Varyasyonları: Bu temel formülü, tam bölen, asal olmayan bölen, tek/çift bölen veya bir sayının katı olan bölen sayılarını bulmak için uyarlayabiliriz.

Bugün öğrendiğimiz asal çarpanlara ayırma tekniği, sadece bölen sayılarını bulmakla kalmaz, aynı zamanda sayı teorisinin bir başka kritik konusu için de zemin hazırlar. Bir sonraki dersimizde, bu tekniği kullanarak iki veya daha fazla sayının en büyük ortak bölenini (EBOB) ve en küçük ortak katını (EKOK) nasıl hesaplayacağımızı göreceğiz. Bu konu, ALES'in vazgeçilmez problem tiplerinden biridir.