EBOB-EKOK Problemleri: ALES Odaklı Yaklaşım

EBOB ve EKOK'un Temel Özellikleri

Problem çözümüne geçmeden önce, EBOB ve EKOK arasındaki bazı önemli ilişkileri ve özellikleri bilmek bize büyük zaman kazandırabilir.

1. En Temel Özellik: İki pozitif tam sayının çarpımı, bu sayıların EBOB'u ile EKOK'unun çarpımına eşittir.

   $$a\cdot b=EBOB(a,b)\cdot EKOK(a,b)$$

   Bu kural, sayılardan biri veya EBOB/EKOK değerlerinden biri bilinmediğinde denklemi çözmek için çok kullanışlıdır.

2. Kat İlişkisi: Biri diğerinin tam katı olan iki pozitif tam sayının EBOB'u küçük sayıya, EKOK'u ise büyük sayıya eşittir. Örneğin, EBOB(10, 20) = 10 ve EKOK(10, 20) = 20'dir.

3. Aralarında Asal Sayılar: Aralarında asal (1'den başka ortak böleni olmayan) iki pozitif tam sayının EBOB'u 1'e, EKOK'u ise bu sayıların çarpımına eşittir. Örneğin, EBOB(8, 9) = 1 ve EKOK(8, 9) = 72'dir.

Aşağıdaki kaynak, bu özellikleri net örneklerle açıklıyor. Lütfen ilgili bölümü dikkatle inceleyin.

Problemin Dilini Anlamak: EBOB mu, EKOK mu?

ALES'teki en büyük zorluk, hangi durumda hangi matematiksel aracı kullanacağınıza karar vermektir. EBOB-EKOK problemlerinde bu karar genellikle şu basit mantığa dayanır:

• EBOB Problemleri: Genellikle büyük bir bütünü, daha küçük ve eşit parçalara ayırma üzerine kuruludur. Anahtar kelimeler "bölmek", "paylaştırmak", "eşit aralıklar", "eşit hacimli", "parselleme" olabilir. Amaç genellikle, en az sayıda parça elde etmektir; bu da parçaların mümkün olan en büyük boyutta olmasını gerektirir. Bu yüzden En Büyük Ortak Bölen'i kullanırız.

  • Örnek: Bir tarla eş kare parsellere ayrılıyor, çuvallardaki ürünler eşit poşetlere konuluyor, bir bahçenin etrafına eşit aralıklarla ağaç dikiliyor.

• EKOK Problemleri: Genellikle küçük parçaları birleştirerek daha büyük bir bütün oluşturma üzerine kuruludur. Anahtar kelimeler "birleştirme", "aynı anda", "tekrar karşılaşma", "küp oluşturma" olabilir. Amaç genellikle, oluşturulan en küçük bütünü veya bir olayın ilk kez ne zaman tekrar edeceğini bulmaktır. Bu yüzden En Küçük Ortak Kat'ı kullanırız.

  • Örnek: Farklı zamanlarda çalan zillerin tekrar ne zaman birlikte çalacağı, küçük tuğlalardan küp yapılması, farklı periyotlarda hareket eden araçların nerede veya ne zaman buluşacağı.

Bu temel ayrımı bir video üzerinden dinleyelim.

ALES Tarzı Problemler ve Çözüm Stratejileri

Şimdi bu mantığı farklı problem türleri üzerinde uygulayarak pratik yapalım. Mühendislik problemlerini çözerken önce temel prensibi belirleyip sonra doğru formülü uyguladığınız gibi, burada da önce problemin "Bütünden Parçaya" mı yoksa "Parçadan Bütüne" mi olduğunu belirleyip sonra ilgili aracı (EBOB veya EKOK) kullanacağız.

1. Geometrik Bölme Problemi (EBOB)

Bu tür sorularda dikdörtgen bir arazi, depo veya karton gibi bir bütün, eş kare veya küp parçalara ayrılır.

Problem: Boyutları 42m ve 36m olan dikdörtgen bir arazi, hiç boşluk kalmayacak şekilde eş kare parsellere ayrılacaktır. Bu işlem sonucunda en az kaç parça kare parsel elde edilir?

Düşünce Süreci:

1. Analiz: Elimizde büyük bir dikdörtgen (bütün) var ve bunu küçük, eş karelere (parça) ayırmamız isteniyor. Bu bir "Bütünden Parçaya" problemidir. Dolayısıyla EBOB kullanmalıyız.
2. Hedef: "En az" parsel sayısı isteniyor. Bu, oluşturulacak karelerin kenar uzunluğunun "mümkün olan en büyük" olması gerektiği anlamına gelir.
3. Çözüm: Karenin bir kenar uzunluğu, hem 42'yi hem de 36'yı kalansız bölmelidir. En büyük kenar uzunluğu için EBOB(42, 36) hesaplanır.
   • $42=2\cdot 3\cdot 7$
   • $36=2^2\cdot 3^2$
   • EBOB(42, 36) = $2\cdot 3=6$. Demek ki her bir karenin kenarı 6 metre olmalıdır.
4. Sonuç: Toplam parsel sayısı, büyük dikdörtgenin alanının bir karenin alanına bölünmesiyle bulunur: $$\text{Parsel Sayısı}=\frac{\text{Tarlanın Alanı}}{\text{Bir Karenin Alanı}}=\frac{42\times 36}{6\times 6}=7\times 6=42$$

Derspresso.com.tr'deki "EBOB/EKOK Problemleri" başlıklı kaynakta da benzer bir problem çözülmektedir. Bu kaynağı inceleyerek alternatif bir çözüm yolunu görebilirsiniz.

2. Periyodik Tekrar Problemi (EKOK)

Bu tür sorularda farklı zaman aralıklarıyla gerçekleşen olayların (zillerin çalması, otobüslerin kalkması, atletlerin tur atması) ne zaman tekrar birlikte gerçekleşeceği sorulur.

Problem: Dairesel bir pist etrafındaki üç koşucu, bir tam turu sırasıyla 12, 15 ve 18 dakikada tamamlamaktadır. Başlangıç noktasından aynı anda yarışa başlayan bu üç koşucu, üçüncü kez başlangıç çizgisinde ne zaman yan yana gelirler?

Düşünce Süreci:

1. Analiz: Her koşucunun periyodu farklıdır. Üçünün de aynı anda başlangıç noktasında olacağı zaman, her üç periyodun da ortak bir katı olmalıdır. Bu bir "Parçadan Bütüne" (zaman dilimlerinden ortak bir zamana) problemidir. Dolayısıyla EKOK kullanmalıyız.
2. Hedef: İlk karşılaşma anını bulmak için EKOK(12, 15, 18) hesaplanır.
   • $12=2^2\cdot 3$
   • $15=3\cdot 5$
   • $18=2\cdot 3^2$
   • EKOK(12, 15, 18) = $2^2\cdot 3^2\cdot 5=4\cdot 9\cdot 5=180$. Yani her 180 dakikada bir başlangıç noktasında buluşurlar.
3. Sonuç (ve Püf Noktası): Soru, üçüncü kez ne zaman yan yana geleceklerini soruyor. Burada ALES'te sıkça karşılaşılan bir tuzağa dikkat etmeliyiz: Yarışın başlangıç anı (0. dakika), onların zaten yan yana olduğu birinci durumdur.
   • 1. kez: 0. dakika (Başlangıç)
   • 2. kez: 180 dakika sonra
   • 3. kez: 180 + 180 = 360 dakika sonra
        Dolayısıyla cevap 360 dakikadır. Eğer bu detayı gözden kaçırıp 180 x 3 = 540 derseniz yanlış cevap bulursunuz.

Aşağıdaki videoda bu problem tipi, kritik detayıyla birlikte çok güzel açıklanıyor.

3. Kalanlı Bölme Problemi (EKOK)

Bu sorularda, bir sayının farklı sayılara bölündüğünde verdiği kalanlar belirtilir ve bu sayının değeri sorulur.

Problem: Bir kutudaki bilyeler 5'erli sayıldığında 2, 6'şarlı sayıldığında 3, 8'erli sayıldığında 5 bilye artıyor. Kutudaki bilye sayısı 400'den fazla olduğuna göre, en az kaç bilye vardır?

Düşünce Süreci:

1. Analiz: Bilye sayısına K diyelim.
   • $K=5a+2$
   • $K=6b+3$
   • $K=8c+5$
     Bu denklemlerde doğrudan bir ortak kat göremeyiz. Ancak her ifadeye sabit bir sayı ekleyerek veya çıkararak ortak kat elde edebilir miyiz diye bakarız. Bölen ile kalan arasındaki farkın her durumda 3 olduğuna dikkat edin (5-2=3, 6-3=3, 8-5=3).
2. Hedef: Her tarafa 3 eklersek ne olur?
   • $K+3=5a+5=5(a+1)$
   • $K+3=6b+6=6(b+1)$
   • $K+3=8c+8=8(c+1)$
     Gördüğünüz gibi, $K+3$ sayısı hem 5'in, hem 6'nın hem de 8'in ortak katı haline geldi.
3. Çözüm: $K+3$ sayısı, EKOK(5, 6, 8)'in bir katı olmalıdır.
   • EKOK(5, 6, 8) = EKOK(5, 2·3, 2³) = 2³ · 3 · 5 = 120.
   • Yani, $K+3=120\cdot n$ şeklinde olmalıdır (n bir pozitif tam sayı).
4. Sonuç: Bilye sayısı (K) 400'den fazlaymış. $K=120n-3>400$.
   • $120n>403$
   • n=1 için K=117 (uygun değil)
   • n=2 için K=237 (uygun değil)
   • n=3 için K=357 (uygun değil)
   • n=4 için $K=120\cdot 4-3=480-3=477$.
     Bu değer 400'den büyük olan en küçük değerdir. Cevap 477'dir.

Bu çözüm tekniğini bir video örnekle pekiştirelim.

Özet ve Sonraki Adımlar

Bu derste EBOB ve EKOK bilgilerimizi kullanarak ALES tarzı problemleri çözme stratejileri geliştirdik. Temel çıkarımlarımız şunlar:

• Temel Özellikler: $a\cdot b=EBOB(a,b)\cdot EKOK(a,b)$ formülü gibi özellikler, problem çözümünde bize hız kazandırır.
• Problem Tespiti: Bir problemin EBOB mu yoksa EKOK mu gerektirdiğini anlamak için "Bütünden Parçaya" (EBOB) ve "Parçadan Bütüne" (EKOK) mantığını kullanırız.
• Klasik Problem Tipleri: Geometrik bölme/birleştirme, periyodik olaylar ve kalanlı bölme gibi sık karşılaşılan senaryoları ve çözüm yöntemlerini öğrendik.
• Püf Noktaları: "Kesim sayısı = Parça sayısı - 1" ve periyodik olaylarda "başlangıç anı" gibi detayların ALES sorularında ne kadar önemli olduğunu gördük.

Bu modülü tamamlayarak Aritmetiğin Temelleri konusundaki yetkinliğimizi artırdık. Bir sonraki modülümüzde, Rasyonel Sayılar, Üslü ve Köklü İfadeler konusuna giriş yapacağız. Orada da farklı sayı türleriyle işlem yapma ve bu işlemleri problem çözümünde kullanma becerilerimizi geliştirmeye devam edeceğiz.