Calcul des résistances de calcul (fcd, fyd) du béton et de l'acier

1. Valeurs Caractéristiques vs Valeurs de Calcul

Les données de votre exercice nous indiquent :

• Béton : fc 25 MPa
• Acier : Fe E 500

Ces valeurs sont des résistances caractéristiques. Une valeur caractéristique, notée avec un indice $k$ (par exemple, $f_{ck}$), est une valeur garantie par le fabricant avec un certain niveau de probabilité (généralement, il y a 95% de chances que la résistance réelle soit supérieure). Cependant, pour concevoir une structure qui doit durer des décennies en toute sécurité, les ingénieurs ne peuvent pas se baser sur cette seule valeur.

On introduit donc une valeur de calcul, notée avec un indice $d$ (pour "design" en anglais), qui est une valeur volontairement plus faible, plus "pessimiste".

Pour bien saisir cette distinction essentielle, je vous propose de visionner un court extrait vidéo.

Comme vous l'avez vu, on passe de la valeur caractéristique ($X_k$) à la valeur de calcul ($X_d$) en appliquant un coefficient de sécurité partiel (${\gamma }_m$), qui divise la résistance :

Ce coefficient ${\gamma }_m$ prend en compte les incertitudes liées à la mise en œuvre sur le chantier, les imperfections possibles, et les conditions environnementales. Il n'a pas la même valeur pour le béton et pour l'acier.

2. Résistance de Calcul du Béton ($f_{cd}$)

Commençons par le béton. L'énoncé indique fc 25 MPa. Il s'agit de la résistance caractéristique à la compression, notée $f_{ck}$. Le 25 MPa signifie que des cylindres de ce béton, après 28 jours de séchage, résistent à une pression de 25 MégaPascals avant de s'écraser.

Pour obtenir la résistance de calcul en compression du béton, $f_{cd}$, la formule est :

• $f_{ck}$ est la résistance caractéristique (ici, 25 MPa).
• ${\gamma }_c$ est le coefficient de sécurité partiel pour le béton.
• ${\alpha }_{cc}$ est un coefficient qui prend en compte les effets à long terme, mais qui est pris égal à 1,0 pour les situations courantes en France.

Pour trouver la valeur de ${\gamma }_c$, nous allons consulter un document de référence.

Comme indiqué dans le document, nous utilisons ${\gamma }_c=1,5$ et ${\alpha }_{cc}=1$.

Calculons maintenant la valeur de $f_{cd}$ pour notre exercice :

Cette valeur de 16,67 MPa est la contrainte maximale que nous autoriserons dans le béton pour tous nos calculs de résistance à l'ELU.

L'image suivante illustre parfaitement ce passage de la courbe caractéristique (en vert) à la courbe de calcul (en orange) pour le béton.

3. Résistance de Calcul de l'Acier ($f_{yd}$)

Passons à l'acier. L'énoncé spécifie un acier Fe E 500. Cela signifie que sa limite d'élasticité caractéristique est de 500 MPa. C'est la contrainte à partir de laquelle l'acier commence à se déformer de manière permanente. On la note $f_{yk}$.

La formule pour obtenir la limite d'élasticité de calcul de l'acier, $f_{yd}$, est plus simple :

• $f_{yk}$ est la limite d'élasticité caractéristique (ici, 500 MPa).
• ${\gamma }_s$ est le coefficient de sécurité partiel pour l'acier.

Pourquoi le coefficient ${\gamma }_s$ est-il différent de ${\gamma }_c$ ? La vidéo suivante vous l'explique.

Comme vous l'avez entendu, nous utilisons ${\gamma }_s=1,15$. Cette valeur est confirmée dans les réglementations.

Calculons la valeur de $f_{yd}$ pour notre exercice :

Cette valeur de 434,78 MPa est la contrainte maximale que nous utiliserons pour le calcul des armatures en acier à l'ELU.

L'image ci-dessous illustre le même principe pour l'acier.

Pour consolider ces deux formules, vous pouvez consulter une dernière ressource qui les résume de manière très concise.

Conclusion

Aujourd'hui, nous avons transformé les résistances "commerciales" des matériaux en résistances de calcul sécuritaires, prêtes à être utilisées pour le dimensionnement à l'ELU.

Voici les points essentiels à retenir :

• On utilise des valeurs de calcul ($f_{cd}$, $f_{yd}$) minorées par des coefficients de sécurité (${\gamma }_c$, ${\gamma }_s$) pour garantir la sécurité de la structure.
• Pour le béton (C25/30) :
  • Résistance caractéristique : $f_{ck}=25\text{ MPa}$
  • Coefficient de sécurité : ${\gamma }_c=1,5$
  • Résistance de calcul : $f_{cd}=\frac{25}{1,5}=\text{16,67 MPa}$
• Pour l'acier (Fe E 500) :
  • Limite d'élasticité caractéristique : $f_{yk}=500\text{ MPa}$
  • Coefficient de sécurité : ${\gamma }_s=1,15$
  • Limite d'élasticité de calcul : $f_{yd}=\frac{500}{1,15}=\text{434,78 MPa}$

Maintenant que nous connaissons les charges de service ($N_{ser}$) et les propriétés du sol (que nous aborderons prochainement), nous sommes presque prêts à déterminer la surface de notre semelle. Dans la prochaine leçon, nous calculerons la contrainte admissible nette du sol, un autre paramètre crucial pour le dimensionnement.