Calcul des dimensions de semelle homothétique

Bonjour ! J'espère que vous êtes prêt à continuer notre projet de dimensionnement. Dans la leçon précédente, nous avons calculé la contrainte admissible nette du sol ( $σ_{so l, n e tt e}$ ). Nous avons trouvé une valeur de 297,56 KN/m², qui représente la pression maximale que la charge de service de notre bâtiment peut exercer sur le sol.

Aujourd'hui, nous allons utiliser cette valeur pour répondre à la première question de votre exercice : déterminer les dimensions en plan (la longueur A et la largeur B) de la semelle. L'objectif est de calculer une surface $A \times B$ suffisamment grande pour que la pression exercée reste sous la limite admissible. Nous nous concentrerons sur le cas d'une semelle homothétique, comme demandé dans la partie A de l'exercice.

1. Principe de base du dimensionnement en plan

Le dimensionnement en plan à l'État Limite de Service (ELS) repose sur une condition simple : la contrainte réelle appliquée par la fondation sur le sol ne doit pas dépasser la capacité portante nette du sol.

La contrainte appliquée est la force de service ( $N_{ser}$ ) divisée par la surface de la semelle ( $S = A \times B$ ). La condition s'écrit donc :

σ_{a ppl i q u e ˊ e} = \frac{N _{ser}}{A \times B} \leq σ_{so l, n e tt e}

Pour dimensionner la semelle, nous devons donc trouver la surface minimale requise. En réarrangeant la formule, nous obtenons :

S_{min} = A \times B = \frac{N _{ser}}{σ _{so l, n e tt e}}

2. Calcul de la surface minimale requise ( $S_{min}$ )

Rappelons les valeurs que nous avons calculées dans les leçons précédentes :

Charge de service, $N_{ser} = G + Q = 1200 KN + 400 KN = 1600 KN$ .
Contrainte admissible nette, $σ_{so l, n e tt e} = 297, 56 KN/m²$ .

Appliquons la formule pour calculer la surface minimale :

S_{min} = \frac{1600 KN}{297 , 56 KN/m²} = 5, 377 m²

Notre semelle doit avoir une surface d'au moins 5,38 m². Maintenant, comment déterminer sa longueur A et sa largeur B ? C'est là qu'intervient la condition d'homothétie.

3. La condition d'homothétie

Une semelle est dite homothétique par rapport au poteau qu'elle supporte si le rapport de ses dimensions est égal au rapport des dimensions du poteau.

Cet extrait de calcul illustre bien le principe de l'homothétie, où le rapport A/B de la semelle est lié au rapport a/b du poteau.

Les dimensions de notre poteau sont :

a = 0,50 m
b = 0,40 m

La condition d'homothétie s'écrit donc :

\frac{A}{B} = \frac{a}{b}

Cette condition assure une bonne transmission des efforts du poteau vers la fondation en conservant les proportions géométriques.

4. Calcul des dimensions A et B

Nous avons maintenant un système de deux équations à deux inconnues (A et B) :

$A \times B = S_{min} = 5, 377 m²$
$\frac{A}{B} = \frac{a}{b} = \frac{0 , 50}{0 , 40} = 1, 25$

À partir de la deuxième équation, nous pouvons exprimer A en fonction de B : $A = 1, 25 \times B$ .
Substituons cette expression dans la première équation :

(1, 25 \times B) \times B = 5, 377

1, 25 \times B^{2} = 5, 377

B^{2} = \frac{5 , 377}{1 , 25} = 4, 3016

B = 4, 3016 = 2, 074 m

Maintenant, calculons A :

A = 1, 25 \times B = 1, 25 \times 2, 074 = 2, 5925 m

Le document suivant présente les formules de manière plus directe, ce qui peut être utile pour vos futurs calculs.

[PDF] Chapitre 4 Fondations superficielles - Home | ops.univ-batna2.dz

Ce cours universitaire détaille la méthode de dimensionnement des semelles rectangulaires. Il vous montrera les formules directes pour trouver A et B.

Concentrez-vous sur la section 6.9.1 Dimensionnement de la semelle. Vous y trouverez les deux conditions que nous venons d'utiliser : la condition d'homothétie et la relation entre la surface et la charge. Le document dérive ensuite les formules directes pour A et B. Notez que le document utilise P_u et q_u (valeurs à l'ELU). Notre méthodologie, plus courante aujourd'hui, est de dimensionner en plan à l'ELS, c'est pourquoi nous utilisons N_{ser} (équivalent à P_s) et \sigma_{sol, nette}. La logique mathématique reste identique.

5. Finalisation des dimensions

L'énoncé de l'exercice demande de donner les résultats avec "deux chiffres après la virgule par excès". Cela signifie qu'il faut arrondir à la valeur supérieure.

$A = 2, 5925 m \to 2, 60 m$
$B = 2, 074 m \to 2, 08 m$

Par convention pratique sur un chantier, on arrondit souvent aux 5 cm supérieurs, ce qui donnerait A = 2,60 m et B = 2,10 m. Cependant, en respectant strictement la consigne de l'exercice, nous retenons A = 2,60 m et B = 2,08 m.

Vérifions que notre surface finale est bien supérieure à la surface minimale requise :

S_{f ina l e} = 2, 60 m \times 2, 08 m = 5, 408 m²

Puisque $5, 408 m² > S_{min} (5, 377 m²)$ , notre dimensionnement est correct.

Pour une autre perspective visuelle de ce calcul, la vidéo suivante résume bien les étapes.

Comment dimensionner une semelle isolée en béton suivant B.A.E.L en 3 min

Cette courte vidéo explique comment dimensionner une semelle isolée en appliquant la condition d'homothétie.

Regardez d'abord le calcul de l'effort Ns, qui correspond à notre N_{ser}. Puis, la partie la plus importante est le calcul final, où l'auteur combine la condition d'homothétie et la formule de contrainte pour trouver les dimensions A et B, tout comme nous l'avons fait.

Conclusion

Nous avons atteint le premier objectif majeur de l'exercice : le dimensionnement en plan de la semelle.

Les points clés de cette leçon sont :

La surface minimale de la semelle est déterminée à l'ELS en divisant la charge de service $N_{ser}$ par la contrainte admissible nette du sol $σ_{so l, n e tt e}$ .
Pour une semelle homothétique, le rapport des dimensions $A / B$ est égal au rapport des dimensions du poteau $a / b$ .
En combinant ces deux conditions, nous avons calculé les dimensions requises pour notre exercice : $A = 2, 60 m$ et $B = 2, 08 m$ .

Maintenant que nous avons les dimensions en plan, la prochaine étape sera de déterminer les dimensions de l'autre type de semelle proposée dans l'exercice, la semelle à débord constant. Cela nous permettra ensuite de les comparer.

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