Calcul des dimensions (A, B) d'une semelle filante

1. Types de fondations superficielles

Avant de plonger dans le calcul, rappelons visuellement ce que nous dimensionnons. Une semelle isolée est l'un des trois principaux types de fondations superficielles.

2. Le principe de la semelle à débord constant

Alors que la semelle homothétique conserve le rapport des dimensions du poteau ($A/B=a/b$), la semelle à débord constant suit une autre logique.

Le "débord" est la partie de la semelle qui dépasse du poteau. Une semelle est dite "à débord constant" lorsque la différence entre la dimension de la semelle et la dimension correspondante du poteau est la même dans les deux directions.

Mathématiquement, cela se traduit par la condition suivante :

Cette condition assure que le débord total ($A-a$) dans la direction de la longueur A est égal au débord total ($B-b$) dans la direction de la largeur B. Cela ne signifie pas que les débords de chaque côté du poteau sont identiques, mais que la différence de taille entre la semelle et le poteau est constante.

3. Calcul des dimensions A et B

Pour trouver A et B, nous allons à nouveau résoudre un système de deux équations.

Équation 1 : La condition de surface à l'ELS

Cette condition ne change pas. La surface de la semelle doit être suffisante pour que la pression au sol ne dépasse pas la contrainte admissible nette. Nous utilisons la surface minimale que nous avons déjà calculée :

Équation 2 : La condition de débord constant

Nous appliquons la nouvelle condition géométrique avec les dimensions de notre poteau ($a=0,50\text{ m}$ et $b=0,40\text{ m}$) :

En réarrangeant cette équation, nous pouvons exprimer A en fonction de B :

Résolution du système

Nous substituons l'expression de A dans l'équation de surface :

Cela nous donne une équation du second degré :

Pour résoudre cette équation de la forme $a{x}^2+bx+c=0$, nous utilisons le discriminant $\Delta =b^2-4ac$.
Ici, $a=1$, $b=0,10$, et $c=-5,377$.

La solution pour B (qui doit être une longueur positive) est :

Maintenant, nous calculons A :

Le document suivant montre un exemple de calcul pour une semelle à débord constant, bien qu'il utilise une approche légèrement différente (calcul de la surface à l'ELU).

4. Finalisation et Vérification

Comme pour la semelle homothétique, nous devons arrondir nos résultats par excès à deux chiffres après la virgule, conformément à l'énoncé.

• $A=2,3694\text{ m}\to 2,37\text{ m}$
• $B=2,2694\text{ m}\to 2,27\text{ m}$

Vérifions que la surface finale est toujours supérieure à la surface minimale requise :

Puisque $5,3799\text{ m²}>5,377\text{ m²}$, notre dimensionnement est correct.

Conclusion

Félicitations, vous avez maintenant dimensionné la semelle selon les deux hypothèses de l'exercice !

Voici les points essentiels de cette leçon :

• Une semelle à débord constant est définie par la condition géométrique $A-a=B-b$.
• Pour la dimensionner en plan, on combine cette condition avec la condition de surface minimale à l'ELS ($A\times B\ge S_{min}$).
• La résolution de ce système nous a donné les dimensions suivantes : $A=2,37\text{ m}$ et $B=2,27\text{ m}$.

Si nous comparons avec la semelle homothétique ($A=2,60\text{ m},B=2,08\text{ m}$), nous voyons que les dimensions sont plus "carrées" dans le cas du débord constant.

Maintenant que nous avons les dimensions en plan (A et B) pour les deux types de semelles, notre prochaine étape sera de déterminer leur hauteur. Dans la leçon suivante, nous calculerons la hauteur utile ($d$) et la hauteur totale ($h$) en appliquant la condition de rigidité de la semelle.