Calcul des Hauteur Utile et Totale de Semelle (Condition de Rigidité)

1. La Condition de Rigidité : Pourquoi la hauteur est-elle si importante ?

Jusqu'à présent, nous avons supposé que la pression exercée par la semelle sur le sol était parfaitement uniforme. Pour que cette hypothèse soit valide, la semelle doit être suffisamment "rigide", c'est-à-dire assez épaisse pour ne pas se déformer ou "plier" sous l'effet de la charge du poteau. Une semelle qui se plie (une semelle "flexible") concentrerait la pression au centre et ne répartirait pas correctement les charges, ce qui pourrait entraîner une rupture du sol.

Pour garantir cette rigidité, on utilise une règle de prédimensionnement empirique, issue des règlements de construction. Cette règle lie la hauteur de la semelle aux dimensions de ses débords.

Le diagramme suivant illustre où se situe cette étape dans le processus global de calcul.

2. Hauteur Utile (d) vs. Hauteur Totale (h)

Avant d'appliquer la formule, il est essentiel de distinguer deux hauteurs :

• La hauteur totale (h) : C'est l'épaisseur totale du bloc de béton de la semelle.
• La hauteur utile (d) : C'est la distance entre la surface supérieure de la semelle et l'axe des armatures en acier situées en partie basse. C'est cette hauteur qui travaille réellement pour résister aux efforts de flexion.
• L'enrobage (c) : C'est la couche de béton située sous les aciers. Son rôle est de protéger les barres d'acier de la corrosion due à l'humidité du sol. Pour les fondations, on prend une valeur de sécurité. Dans notre cas, nous utiliserons une valeur standard de 5 cm (0,05 m).

La relation entre ces trois éléments est simple :

3. La Formule de Rigidité

La condition de rigidité stipule que la hauteur utile d doit être au moins égale au quart du plus grand débord. Le débord est la partie de la semelle qui dépasse du poteau, soit (A-a) dans un sens et (B-b) dans l'autre.

Comme la semelle doit être rigide dans les deux directions, nous devons prendre la condition la plus défavorable (la plus grande valeur). La formule est donc :

Le document suivant explique très clairement ce principe et son application.

4. Application à Votre Exercice

Nous allons maintenant calculer d et h pour les deux types de semelles que nous avons dimensionnés.

Données communes :

• Dimensions du poteau : $a=0,50\text{ m}$, $b=0,40\text{ m}$
• Enrobage : $c=0,05\text{ m}$

A) Cas de la semelle homothétique

Dans une leçon précédente, nous avons trouvé les dimensions : $A=2,60\text{ m}$ et $B=2,08\text{ m}$.

1. Calcul des débords divisés par 4 :

   • Direction A : $\frac{A-a}{4}=\frac{2,60-0,50}{4}=\frac{2,10}{4}=0,525\text{ m}$
   • Direction B : $\frac{B-b}{4}=\frac{2,08-0,40}{4}=\frac{1,68}{4}=0,42\text{ m}$

2. Détermination de la hauteur utile (d) :
   La hauteur utile d doit être supérieure ou égale au maximum de ces deux valeurs.

   $$d\ge \max (0,525;0,42)⟹d\ge 0,525\text{ m}$$

   En arrondissant par excès à deux chiffres après la virgule, nous adoptons :

   $$d=0,53\text{ m}$$

3. Calcul de la hauteur totale (h) :

   $$h=d+c=0,53+0,05=0,58\text{ m}$$

Pour la semelle homothétique, nous avons donc une hauteur totale de 58 cm.

B) Cas de la semelle à débord constant

Pour cette hypothèse, nous avons trouvé : $A=2,37\text{ m}$ et $B=2,27\text{ m}$.

1. Calcul des débords divisés par 4 :

   • Direction A : $\frac{A-a}{4}=\frac{2,37-0,50}{4}=\frac{1,87}{4}=0,4675\text{ m}$
   • Direction B : $\frac{B-b}{4}=\frac{2,27-0,40}{4}=\frac{1,87}{4}=0,4675\text{ m}$
     (Comme attendu, les débords A-a et B-b sont égaux dans cette hypothèse).

2. Détermination de la hauteur utile (d) :

   $$d\ge 0,4675\text{ m}$$

   Nous arrondissons par excès à deux chiffres après la virgule :

   $$d=0,47\text{ m}$$

3. Calcul de la hauteur totale (h) :

   $$h=d+c=0,47+0,05=0,52\text{ m}$$

Pour la semelle à débord constant, nous avons une hauteur totale de 52 cm.

La vidéo suivante vous montre une application pratique de ce calcul, ce qui vous aidera à bien visualiser les étapes.

Conclusion

Dans cette leçon, nous avons franchi une étape essentielle en donnant une épaisseur à notre semelle.

Voici les points clés à retenir :

• La hauteur d'une semelle est gouvernée par la condition de rigidité pour assurer une bonne répartition des charges sur le sol.
• La hauteur utile (d) est déterminée par la formule $d\ge \max \left(\frac{A-a}{4},\frac{B-b}{4}\right)$.
• La hauteur totale (h) est obtenue en ajoutant l'enrobage (généralement 5 cm pour les fondations) à la hauteur utile : $h=d+c$.

Pour notre exercice, nous avons obtenu les dimensions en élévation suivantes :

• Semelle homothétique : $d=0,53\text{ m}$ et $h=0,58\text{ m}$
• Semelle à débord constant : $d=0,47\text{ m}$ et $h=0,52\text{ m}$

Nous avons maintenant toutes les dimensions (A, B, h) pour les deux options. Dans la prochaine leçon, nous pourrons répondre à la question 2 de la partie B de votre exercice : "Quelle est la solution la plus économique ?". Pour cela, nous comparerons le volume de béton nécessaire pour chaque type de semelle.