"Détermination et choix des armatures (Asx, Asy)"

Bonjour ! Dans nos leçons précédentes, nous avons progressé étape par étape dans le dimensionnement de notre semelle. Nous avons déterminé ses dimensions en plan ( $A = 2, 37$ m, $B = 2, 27$ m) et en élévation ( $h = 0, 55$ m, $d = 0, 47$ m), puis nous avons calculé la pression exercée par le sol à l'ELU ( $σ_{u}$ ) et les moments fléchissants que cette pression engendre ( $M_{u, A} = M_{u, B} = 180, 25 kNm/ml$ ).

Aujourd'hui, nous allons utiliser ces résultats pour répondre à une question centrale de l'exercice : quelle quantité d'acier est nécessaire pour que la semelle résiste à ces moments ? Notre objectif est de déterminer les sections d'armatures nécessaires ( $A_{s x}$ et $A_{sy}$ ), puis de choisir un nombre de barres et un diamètre commercialement disponibles pour le ferraillage.

1. La "Méthode des Bielles" : Calcul de la Section d'Acier Théorique

Pour calculer la section d'acier nécessaire, il existe une méthode très pratique et réglementaire pour les semelles rigides, appelée la méthode des bielles. Elle est plus directe que de passer par le moment fléchissant que nous avons calculé.

Imaginez que la charge du poteau ( $N_{u}$ ) se diffuse dans la semelle vers le sol en suivant des "bielles" de compression obliques en béton. Ces bielles, en poussant vers l'extérieur, créent un effort de traction à la base de la semelle. C'est cet effort de traction que les armatures inférieures (le "tirant") doivent reprendre.

Ferraillage d'une Semelle Isolée - Exercice corrigé

Ce document explique très clairement le principe de cette méthode et fournit la formule directe que nous allons appliquer.

Veuillez lire la section "Question 3 : Calcul des Aciers", en vous concentrant sur l'explication du principe et la formule de calcul. La formule qui en découle est très efficace.

La formule pour la section totale d'acier dans une direction donnée est :

A_{s} = \frac{N _{u} \cdot ( L - l )}{8 \cdot d \cdot f _{y d}}

Où :

$N_{u}$ est la charge de calcul à l'ELU.
$L$ est la dimension de la semelle dans la direction considérée (A ou B).
$l$ est la dimension du poteau dans la même direction (a ou b).
$d$ est la hauteur utile de la semelle.
$f_{y d}$ est la limite d'élasticité de calcul de l'acier.

Application à notre exercice

Rappelons nos données :

$N_{u} = 2220 kN = 2, 22 MN$
Dimensions de la semelle : $A = 2, 37 m$ , $B = 2, 27 m$
Dimensions du poteau : $a = 0, 50 m$ , $b = 0, 40 m$
Hauteur utile : $d = 0, 47 m$
Acier : Fe E 500, donc $f_{y k} = 500 MPa$ .
La limite d'élasticité de calcul est $f_{y d} = f_{y k} / γ_{s} = 500/1, 15 \approx 435 MPa$ .

a) Armatures parallèles au grand côté A (direction x)
Ces aciers reprennent la flexion selon l'axe A.

A_{s x} = \frac{N _{u} \cdot ( A - a )}{8 \cdot d \cdot f _{y d}} = \frac{2 , 22 MN \cdot ( 2 , 37 - 0 , 50 ) m}{8 \cdot 0 , 47 m \cdot 435 MPa}

A_{s x} = \frac{2 , 22 \cdot 1 , 87}{1635 , 6} = \frac{4 , 1514}{1635 , 6} \approx 0, 002538 m^{2}

En convertissant en cm² (1 m² = 10 000 cm²), on obtient :

A_{s x, c a l c} = 25, 38 cm^{2}

b) Armatures parallèles au petit côté B (direction y)
Ces aciers reprennent la flexion selon l'axe B.

A_{sy} = \frac{N _{u} \cdot ( B - b )}{8 \cdot d \cdot f _{y d}} = \frac{2 , 22 MN \cdot ( 2 , 27 - 0 , 40 ) m}{8 \cdot 0 , 47 m \cdot 435 MPa}

A_{sy} = \frac{2 , 22 \cdot 1 , 87}{1635 , 6} \approx 0, 002538 m^{2}

A_{sy, c a l c} = 25, 38 cm^{2}

Comme nous avons une semelle à débord constant ( $A - a = B - b$ ), il est logique que les sections d'acier calculées soient identiques.

2. Vérification de la Condition de Non-Fragilité (Acier Minimum)

Le calcul ci-dessus nous donne l'acier nécessaire pour résister à la charge. Cependant, les règlements (comme l'Eurocode 2) imposent une quantité minimale d'acier pour garantir que si le béton venait à se fissurer (même sous de faibles charges), la semelle ne se romprait pas de manière brutale ("fragile"). Cette section minimale assure un comportement "ductile".

Pour les éléments comme les semelles, qui sont larges, cette condition de non-fragilité est souvent plus exigeante que le calcul de charge. Il est donc impératif de la vérifier.

Ferraillage d'une Semelle Isolée - Exercice corrigé

Cette section du même document est cruciale. Elle explique pourquoi cette vérification est nécessaire et comment la réaliser.

Lisez la "Question 4 : Condition de Non-Fragilité (A_{s,min})". Portez une attention particulière au Principe, à la Remarque Pédagogique, et aux formules de l'Eurocode.

La section d'acier minimale par mètre de largeur ( $A_{s, min}$ ) est le maximum entre une condition mécanique et une condition géométrique. Pour un béton C25/30 ( $f_{c k} = 25$ MPa) et un acier Fe E 500 ( $f_{y k} = 500$ MPa) :

Résistance moyenne en traction du béton : $f_{c t m} = 0, 30 \times f_{c k}^{(2/3)} = 0, 30 \times 2 5^{(2/3)} \approx 2, 56 MPa$ .
Condition mécanique : $0, 26 \frac{f _{c t m}}{f _{y k}} = 0, 26 \times \frac{2 , 56}{500} \approx 0, 00133 = 0, 133%$ .
Condition géométrique : $0, 0013 = 0, 13%$ .

On retient le maximum, soit 0,133%. La section d'acier minimale est donc :
$A_{s, min} = 0, 00133 \times b_{t} \times d$
où $b_{t}$ est la largeur de la semelle.

a) Pour les aciers de la nappe x (parallèles à A)
Ces aciers sont répartis sur la largeur B. Donc $b_{t} = B = 2, 27 m$ .

A_{s x, min} = 0, 00133 \times B \times d = 0, 00133 \times 2, 27 m \times 0, 47 m \approx 0, 001418 m^{2}

A_{s x, min} = 14, 18 cm^{2}

b) Pour les aciers de la nappe y (parallèles à B)
Ces aciers sont répartis sur la largeur A. Donc $b_{t} = A = 2, 37 m$ .

A_{sy, min} = 0, 00133 \times A \times d = 0, 00133 \times 2, 37 m \times 0, 47 m \approx 0, 001482 m^{2}

A_{sy, min} = 14, 82 cm^{2}

Synthèse : Section à retenir

La section d'acier à mettre en place doit être la plus grande valeur entre le calcul et le minimum réglementaire : $A_{s} = max (A_{s, c a l c}; A_{s, min})$ .

Direction x (parallèle à A) : $A_{s x} = max (25, 38 cm^{2}; 14, 18 cm^{2}) = 25, 38 cm^{2}$
Direction y (parallèle à B) : $A_{sy} = max (25, 38 cm^{2}; 14, 82 cm^{2}) = 25, 38 cm^{2}$

Dans notre cas, c'est bien le calcul à l'ELU qui est dimensionnant.

3. Choix du Ferraillage Pratique

Nous devons maintenant traduire ces sections théoriques en un choix concret de barres d'acier : un diamètre ( $ϕ$ ) et un nombre de barres ( $n$ ).

Calcul du ferraillage d'une semelle isolée

Cette vidéo montre comment passer de la section calculée au choix des barres en utilisant un tableau.

Regardez l'extrait Répartir les surfaces. L'ingénieur explique qu'il faut choisir une combinaison "nombre de barres × diamètre" qui donne une section totale supérieure à celle calculée, tout en respectant un espacement raisonnable (généralement entre 15 et 30 cm).

Nous avons besoin de $25, 38 cm^{2}$ dans chaque direction. Utilisons un tableau de sections d'acier pour trouver une solution.

Ce tableau répertorie la section totale d'acier (en cm²) en fonction du diamètre de la barre (première colonne) et du nombre de barres (première ligne).

Stratégie :

On choisit un diamètre courant pour les semelles (HA 12, HA 14, ou HA 16).
On lit la ligne correspondant à ce diamètre dans le tableau.
On cherche la première valeur qui est supérieure ou égale à $25, 38 cm^{2}$ .
On lit le nombre de barres correspondant en haut de la colonne.

Option 1 : Acier HA 12
Sur la ligne "12", la valeur $25, 13$ (pour 10 barres) est trop faible. La suivante est $26, 02$ cm² dans la version complète du tableau, ce qui correspondrait à 23 barres. C'est trop, l'espacement serait trop faible.

Option 2 : Acier HA 14
Sur la ligne "14", nous cherchons une valeur $> 25, 38$ . Cette valeur n'est pas dans l'extrait du tableau. Le calcul serait : $25, 38/1, 54$ (section d'1 HA 14) $\approx 16, 5$ . Il faudrait donc 17 barres.

Option 3 : Acier HA 16
Sur la ligne "16", nous cherchons une valeur $> 25, 38$ . La valeur dans la colonne "10" est $20, 11$ , c'est insuffisant. Calculons le nombre de barres : $n = 25, 38/2, 01 \approx 12, 6$ . Il nous faudrait donc 13 barres HA 16.
La section réelle serait : $13 \times 2, 01 = 26, 13 cm^{2}$ , ce qui est bien supérieur à $25, 38 cm^{2}$ .

Vérification de l'espacement :

Nappe x (13 HA 16 // A) : réparties sur une largeur $B = 2, 27 m$ .
Espacement $e_{x} = \frac{B - 2 \times enrobage}{n - 1} = \frac{227 cm - 2 \times 5 cm}{13 - 1} = \frac{217}{12} \approx 18, 1 cm$ .
Nappe y (13 HA 16 // B) : réparties sur une largeur $A = 2, 37 m$ .
Espacement $e_{y} = \frac{A - 2 \times enrobage}{n - 1} = \frac{237 cm - 2 \times 5 cm}{13 - 1} = \frac{227}{12} \approx 18, 9 cm$ .

Ces espacements ( $\approx 18 - 19$ cm) sont parfaits : ni trop serrés pour le bétonnage, ni trop larges.

Notre choix final est donc :

Nappe x (inférieure) : 13 HA 16, espacement 19 cm.
Nappe y (supérieure) : 13 HA 16, espacement 18 cm.

Ce schéma illustre comment les deux nappes d'armatures sont disposées perpendiculairement l'une à l'autre pour former un quadrillage à la base de la semelle.

Conclusion

Aujourd'hui, nous avons transformé un effort de flexion en une quantité d'acier concrète. Cette étape est au cœur du métier d'ingénieur en béton armé.

Points clés à retenir :

La méthode des bielles fournit une formule directe pour calculer la section d'acier totale dans une direction : $A_{s} = \frac{N _{u} ( L - l )}{8 d f _{y d}}$ .
Il est impératif de toujours vérifier la condition de non-fragilité ( $A_{s, min}$ ), car elle peut être plus exigeante que le calcul de charge, surtout pour les semelles.
La section finale à retenir est le maximum entre la section calculée et la section minimale.
Le choix pratique se fait en consultant un tableau de sections d'aciers pour trouver une combinaison (diamètre, nombre de barres) qui fournit une section supérieure ou égale à la section requise, tout en garantissant un espacement correct.
Pour notre exercice, nous retenons 13 barres HA 16 dans chaque direction.

Dans la prochaine leçon, nous aborderons les dernières vérifications requises pour valider notre dimensionnement. Nous commencerons par la vérification au poinçonnement, qui s'assure que le poteau ne va pas "percer" la semelle sous l'effet de la charge concentrée $N_{u}$ .