Calcul des moments fléchissants Mu au nu du poteau

Bonjour !

Dans la leçon précédente, nous avons calculé la contrainte de calcul que le sol exerce sur notre semelle à l'ELU, et nous avons trouvé $σ_{u} = 412, 65 kPa$ . Nous avons insisté sur le fait que cette valeur n'est pas une vérification, mais la charge ascendante qui va créer des efforts à l'intérieur de la semelle.

Aujourd'hui, nous allons utiliser cette pression pour quantifier ces efforts. L'objectif de cette leçon est de calculer les moments fléchissants de calcul ( $M_{u}$ ) dans chaque direction au nu du poteau. Ce sont ces moments qui "plient" la semelle et qui dicteront la quantité d'acier nécessaire pour qu'elle ne se casse pas.

1. Le Principe de la Console Inversée

Pour comprendre d'où viennent ces moments, il faut visualiser comment la semelle travaille. La charge du poteau descend au centre, et le sol réagit en poussant sur toute la surface de la semelle. Les parties de la semelle qui dépassent du poteau (les débords) se retrouvent donc poussées vers le haut.

Ces débords se comportent exactement comme des balcons ou des étagères "encastrés" dans le poteau, mais à l'envers. C'est ce qu'on appelle le modèle de la console inversée.

Dimensionnement d'une Semelle sous Charge Excentrée - Exercice

Cet extrait d'un autre exercice explique très clairement ce principe fondamental avec une excellente analogie.

Veuillez lire la section intitulée "Question 4 : Calcul du ferraillage". Concentrez-vous sur le paragraphe Principe et la Remarque Pédagogique. Cela vous aidera à visualiser les forces en jeu.

Comme le texte l'explique, cette flexion crée une traction en partie basse de la semelle. Le béton résistant très mal à la traction, nous aurons besoin d'y placer des armatures en acier. Le moment fléchissant est la mesure de l'intensité de cette "flexion", et il est maximal à l'endroit de l'encastrement, c'est-à-dire au nu du poteau (à la face du poteau).

Ce schéma montre une coupe de la semelle. Le moment fléchissant que nous calculons est maximal sur les lignes verticales qui délimitent le poteau (largeur 'b'). Le débord, qui agit comme une console, est la partie de la semelle de largeur 'B' qui s'étend au-delà du poteau.

2. La Formule du Moment Fléchissant

En résistance des matériaux, le moment fléchissant ( $M$ ) à l'extrémité d'une console soumise à une charge uniformément répartie ( $q$ ) est donné par la formule :

M = \frac{q \times L ^{2}}{2}

Dans notre cas :

La charge répartie $q$ est la contrainte du sol à l'ELU, $σ_{u}$ .
La longueur de la console $L$ est la longueur du débord, $L_{c}$ .

La formule pour le moment de calcul, par mètre linéaire de semelle, devient donc :

M_{u} (en kNm/ml) = \frac{σ _{u} \times L _{c}^{2}}{2}

Comme notre semelle est rectangulaire, nous devons effectuer ce calcul pour les deux directions.

3. Calcul des Moments pour Votre Exercice

Rappelons les données de notre semelle à débord constant :

Dimensions de la semelle : $A = 2, 37 m$ , $B = 2, 27 m$
Dimensions du poteau : $a = 0, 50 m$ , $b = 0, 40 m$
Contrainte du sol à l'ELU : $σ_{u} = 412, 65 kN/m^{2}$

a) Calcul du moment dans la grande direction (parallèle au côté A)

Ce moment va générer de la flexion le long du grand côté A de la semelle et nécessitera des aciers placés parallèlement à ce côté. La console correspondante est le débord dans cette direction.

Longueur de la console ( $L_{c, A}$ ) :
$L_{c, A} = \frac{A - a}{2} = \frac{2 , 37 - 0 , 50}{2} = 0, 935 m$
Moment de calcul ( $M_{u, A}$ ) :
Ce moment est calculé "par mètre linéaire" de largeur.
$M_{u, A} = \frac{σ _{u} \times ( L _{c, A} ) ^{2}}{2} = \frac{412 , 65 \times ( 0 , 935 ) ^{2}}{2}$ $M_{u, A} = \frac{412 , 65 \times 0 , 874225}{2} \approx 180, 24 kNm/ml$

Conformément à la consigne de l'exercice, nous arrondissons par excès à deux chiffres après la virgule :

M_{u, A} = 180, 25 kNm/ml

b) Calcul du moment dans la petite direction (parallèle au côté B)

Ce moment va générer de la flexion le long du petit côté B et nécessitera des aciers placés parallèlement à ce côté.

Longueur de la console ( $L_{c, B}$ ) :
$L_{c, B} = \frac{B - b}{2} = \frac{2 , 27 - 0 , 40}{2} = 0, 935 m$
Moment de calcul ( $M_{u, B}$ ) :
Ici, nous remarquons une particularité de la semelle à débord constant : les longueurs des débords sont identiques ( $L_{c, A} = L_{c, B}$ ). Le calcul du moment par mètre linéaire donnera donc le même résultat.
$M_{u, B} = \frac{σ _{u} \times ( L _{c, B} ) ^{2}}{2} = \frac{412 , 65 \times ( 0 , 935 ) ^{2}}{2}$ $M_{u, B} = 180, 25 kNm/ml$

Nous avons donc les deux moments de flexion de calcul qui serviront à dimensionner les aciers dans chaque nappe.

Pour aller plus loin, vous pouvez consulter la démarche de calcul dans un autre exercice.

Dimensionnement d'une Semelle Isolée Carrée - Exercice corrigé

Ce document présente le calcul pour une semelle carrée, mais le principe est le même. Il est intéressant de voir comment ils présentent la formule du moment.

Dans la "Question 4 : Calcul des armatures principales", lisez la Remarque Pédagogique qui confirme que le calcul se fait bien au nu du poteau. Ensuite, regardez la formule proposée. Cette formule calcule le moment total pour une semelle carrée. Si vous la divisez par la largeur A, vous obtenez \frac{\sigma_u \times (A-a)^2}{8}, ce qui est exactement la même chose que notre formule \frac{\sigma_u \times (\frac{A-a}{2})^2}{2}. C'est une bonne illustration que différentes approches peuvent mener au même résultat.

Un dernier point important est de savoir pourquoi on ne prend pas en compte le poids de la semelle elle-même dans ce calcul.

Dimensionnement d'une Semelle sous Charge Excentrée - Exercice

Cette courte explication est cruciale pour bien comprendre les efforts.

Dans la section "FAQ", lisez la réponse à la question Poids propre et flexion.

En résumé, le poids propre de la semelle est une charge uniformément répartie qui est directement annulée par une partie équivalente de la réaction du sol. Ces deux forces s'équilibrent parfaitement et ne créent donc aucune flexion. C'est uniquement la charge concentrée venant du poteau qui, en étant répartie sur une plus grande surface, engendre le moment fléchissant.

Conclusion

Nous avons aujourd'hui franchi une étape clé du calcul à l'ELU. En modélisant les débords de la semelle comme des consoles inversées, nous avons pu calculer les efforts de flexion maximum qu'ils subissent.

Points clés à retenir :

La semelle fonctionne comme une console inversée, où les débords sont encastrés dans le poteau et chargés par la pression du sol $σ_{u}$ .
Le moment fléchissant est maximal au nu du poteau.
La formule générale du moment par mètre linéaire est $M_{u} = \frac{σ _{u} \times L _{c}^{2}}{2}$ , où $L_{c}$ est la longueur du débord.
Pour notre exercice (semelle à débord constant), les moments dans les deux directions sont identiques :
- $M_{u, A} = 180, 25 kNm/ml$
- $M_{u, B} = 180, 25 kNm/ml$

Dans la prochaine leçon, nous utiliserons ces valeurs de moments fléchissants pour atteindre le cœur du sujet : le calcul de la section d'armatures ( $A_{s}$ ) nécessaire dans chaque direction pour que notre semelle puisse résister à ces efforts.