Vérification au poinçonnement des semelles à l'ELU

thought The user wants me to create a lesson on punching shear verification for a reinforced concrete footing.

1. Learner Profile & Goal Analysis:

Background: First-year civil engineering student (Genie civil, L1 gc1). Crucially, they have no prior knowledge of Strength of Materials (RDM) or Reinforced Concrete (Béton Armé).
Goal: Solve a specific, detailed exercise about designing an isolated footing (semelle isolée). The current learning outcome is step A.4: "Vérifier le poinçonnement de la semelle".
Preferences: Practical, step-by-step methodology over deep theory. Wants to learn how to solve the exercise.
Course structure: This is the first lesson of Module 5. The previous lessons have covered:
- Load calculation (ELS, ELU)
- Material properties (fcd, fyd)
- Soil stress (σ_sol,nette)
- Footing dimensions (A, B, h, d) for a constant overhang footing. The previous lesson used $A = 2.37$ m, $B = 2.27$ m, $h = 0.55$ m, $d = 0.47$ m.
- Rebar calculation (Asx, Asy) using the "méthode des bielles", resulting in 13 HA 16 bars for each direction.

2. Learning Outcome Analysis:

"Effectuer la vérification de la semelle au poinçonnement à l'ELU."
This requires me to:
1. Explain what punching shear is, conceptually.
2. Introduce the verification condition: The acting shear force must be less than the concrete's resisting shear force. In the context of the provided resources (which seem to follow BAEL rules), this is $P_{u}^{'} \leq Resistance$ .
3. Define and calculate the acting punching shear force, $P_{u}^{'}$ . This is the load from the column minus the soil pressure acting inside the critical perimeter.
4. Define and calculate the critical perimeter, $u_{c}$ .
5. Define and calculate the punching shear resistance of the concrete.
6. Perform the final check.
7. Apply all these steps to the specific numbers from the learner's exercise.

3. Resource Analysis:

LINK (Image): "Le poinçonnement... selon l'EUROCODE 2". Good for visualizing the concept: downward force from the column, upward reaction from the soil. The net force is the punching load. It shows the critical perimeter at 2d, which is an Eurocode 2 convention. I'll point out this is a conceptual diagram and the BAEL rules we'll use are slightly different.
LINK (Image): Another illustration of the critical perimeter u. Also appears to be Eurocode-style (rounded corners). Good for a general visual.
LINK (PDF, ops.univ-batna2.dz): "Chapitre 4 Fondations superficielles". This looks like a university course note based on BAEL (or a similar French regulation).
- Section 1 (idx=1): Gives the core condition: $P_{u}^{'} \leq 0.045 u_{c} h^{'} f_{c j} / γ_{b}$ . It defines the critical perimeter $u_{c}$ based on dimensions $a_{1} = a + h_{1}$ and $b_{1} = b + h_{1}$ , with $h_{1}$ being related to a distance of h/2 from the column. The later example clarifies it uses h.
- Section 2 (idx=2): Explains how to calculate the punching load $P_{u}^{'}$ as the total load minus the soil reaction inside a larger perimeter $a_{2} \times b_{2}$ , where $a_{2} = a + 2 h$ and $b_{2} = b + 2 h$ . This corresponds to a 45° load diffusion.
- Section 3 (idx=3): A full numerical example. Very useful for the learner. It confirms the use of h (total height) for defining the critical perimeter and the punching load area. This is a simplification sometimes used in BAEL for footings, as opposed to the more general d. I'll follow this resource for consistency.
LINK (PDF, Résumé sous forme d'organigrammes de la norme BAEL): A flowchart summary of BAEL rules.
- Section 0 (idx=0): "Vérification du non poinçonnement de la semelle". This is perfect. It provides a clear, step-by-step recipe that matches the learner's preference. It confirms the formulas from LINK:
  - $a_{1} = a + h$ , $b_{1} = b + h$ , $u_{c} = 2 (a_{1} + b_{1})$
  - $a_{2} = a + 2 h$ , $b_{2} = b + 2 h$
  - $P_{u}^{'} = (P_{u} + 1.35 G_{0}) (1 - \frac{a _{2} b _{2}}{A B})$
  - Condition: $P_{u}^{'} \leq 0.045 u_{c} h f_{c 28} / γ_{b}$
- This is the most direct and practical resource. I will base the core calculation on this flowchart. The term $G_{0}$ (footing + soil weight) is included in the total load. A simpler approach is to use the soil pressure $σ_{u} = N_{u} / (A B)$ and calculate the force outside the perimeter. This avoids calculating $G_{0}$ and is equivalent if we neglect the self-weight effects, which is a common simplification. Let's compare: $P_{u}^{'} = (N_{u} + 1.35 G_{0}) (1 - \frac{a _{2} b _{2}}{A B}) \approx \frac{N _{u} + 1.35 G _{0}}{A B} (A B - a_{2} b_{2})$ . This is $σ_{u, t o t} \times (Area_{o u t er})$ . The simpler version is $\frac{N _{u}}{A B} \times (Area_{o u t er})$ . The difference is whether we use the average stress from $N_{u}$ only, or from the total load including self-weight. For a footing, the net force causing punching comes from the load from above, $N_{u}$ , resisted by the soil pressure it generates. The self-weight is more or less in equilibrium with the soil pressure it generates itself, so it doesn't contribute much to punching. Therefore, using $σ_{u} = N_{u} / (A \times B)$ is a common and sound simplification. I'll use this approach as it's more direct and avoids introducing the new variable $G_{0}$ .
LINK (YouTube Video): "Semelle Isolée cours et exercice".
- Section 1 (idx=1): Defines punching shear conceptually. Good for the intro.
- Section 2 (idx=2): Presents a formula for resistance that uses d (hauteur utile), not h. This is the more "correct" BAEL/Eurocode rule. However, resources LINK and LINK both use h. Since the learner prefers a clear, step-by-step method to solve the exercise, and the provided PDF resources are consistent in using h, I will stick to h and mention that other conventions (like using d) exist. Consistency with the provided reference materials is key.
- Section 3 (idx=3): Numerical application.

Lesson Plan:

Introduction:
- Briefly recap the previous lesson: we've dimensioned the footing (A, B, h, d) and determined the steel reinforcement.
- State the goal: To perform the final major check – ensuring the concrete footing is thick enough to resist being "punched through" by the column. This is the punching shear verification (vérification au poinçonnement).
Conceptual Understanding:
- Explain what punching shear is: a localized failure where the concentrated load of the column tries to break a pyramid of concrete out of the footing.
- Use the video LINK (idx=1) for a simple verbal explanation.
- Show image LINK to visualize the forces, explaining it's a conceptual diagram.
The Verification Principle (BAEL):
- Introduce the core principle: the acting punching force ( $V_{u, so l l i c i t an t}$ ) must be less than the concrete's resisting force ( $V_{u, r es i s t a n_{t}}$ ).
- Present the formulas from the BAEL summary flowchart (resource LINK) as our step-by-step guide.
  - Acting force: $P_{u}^{'}$
  - Resisting force: $V_{R} = 0.045 \cdot u_{c} \cdot h \cdot \frac{f _{c 28}}{γ _{b}}$
  - Condition: $P_{u}^{'} \leq V_{R}$
Step 1: Calculate the Acting Punching Force ( $P_{u}^{'}$ ):
- Explain that $P_{u}^{'}$ is the upward force from the soil acting outside the zone of load diffusion.
- First, calculate the average soil pressure at ELU: $σ_{u} = N_{u} / (A \times B)$ . Use our existing values.
- Define the base of the diffusion pyramid (surface $S_{2}$ ) with dimensions $a_{2} = a + 2 h$ and $b_{2} = b + 2 h$ , as per resource LINK.
- Calculate $P_{u}^{'}$ as the pressure multiplied by the area outside $S_{2}$ : $P_{u}^{'} = σ_{u} \times (A \cdot B - a_{2} \cdot b_{2})$ .
- Perform the calculation with the exercise data.
Step 2: Calculate the Resisting Punching Force ( $V_{R}$ ):
- Explain this is the capacity of the concrete to resist the shear along a "critical perimeter".
- Define the critical perimeter $u_{c}$ . As per LINK, its dimensions are $a_{1} = a + h$ and $b_{1} = b + h$ , so $u_{c} = 2 (a_{1} + b_{1})$ .
- Use image LINK as a generic visual for the critical perimeter concept, while clarifying we are using the rectangular perimeter from the BAEL rules.
- Explain the resistance formula: $V_{R} = 0.045 \cdot u_{c} \cdot h \cdot f_{c d}$ , where $f_{c d} = f_{c 28} / γ_{b}$ .
- Perform the calculation with the exercise data.
Step 3: Verification:
- Compare $P_{u}^{'}$ and $V_{R}$ .
- State the conclusion: if $P_{u}^{'} \leq V_{R}$ , the verification is successful.
Consolidated Reading:
- Ask the learner to read the flowchart in resource LINK to see the entire process summarized.
- Also, suggest reading the numerical example in LINK (idx=3) to see another application of the same logic. This reinforces the method.
Conclusion:
- Summarize the key steps: calculate acting force $P_{u}^{'}$ , calculate resisting force $V_{R}$ , and compare.
- Key takeaways: The punching force is not the full column load, and the verification depends heavily on the footing's height h.
- Preview the next lesson: The final steps of the exercise – checking if a sloped footing (semelle à glacis) is possible and creating the reinforcement drawings.Bonjour ! Dans la leçon précédente, nous avons franchi une étape décisive en calculant les armatures nécessaires pour notre semelle, et nous avons abouti à un choix pratique de 13 barres HA 16 dans chaque direction. Notre semelle est maintenant presque entièrement définie, avec ses dimensions et son ferraillage.

Aujourd'hui, nous allons aborder la dernière grande vérification de résistance requise par l'exercice : la vérification au poinçonnement à l'ELU. Notre objectif est de nous assurer que la charge concentrée du poteau ne risque pas de "percer" la semelle, un peu comme un clou traverserait une planche de bois. C'est une vérification de sécurité essentielle pour les éléments qui, comme les semelles, reçoivent des charges très localisées.

1. Qu'est-ce que le poinçonnement ?

Avant de nous lancer dans les calculs, il est important de bien visualiser ce phénomène.

Semelle Isolée cours et exercice (Dimensionnement et Ferraillage).

Cette courte vidéo de la chaîne Othmane Debbagh explique simplement le concept.

Regardez l'extrait qui définit le poinçonnement. L'idée clé est "l'enfoncement d'une surface sous l'effet d'une charge localisée". Dans notre cas, c'est le poteau qui applique la charge localisée sur la surface de la semelle.

Sous l'effet de la charge ultime du poteau $N_{u}$ , la semelle est soumise à un effort de cisaillement intense tout autour du poteau. Si la semelle n'est pas assez épaisse, le poteau pourrait la traverser en arrachant un cône ou une pyramide de béton, menant à une rupture brutale.

Cette image illustre bien le mécanisme. La force du poteau $V_{Ed}$ (équivalent à notre $N_u$) pousse vers le bas, tandis que la réaction du sol pousse vers le haut. La force nette qui tend à cisailler le béton est appelée effort de poinçonnement.

Notre travail consiste à vérifier que la résistance du béton au cisaillement est supérieure à cet effort de poinçonnement.

2. La Méthode de Vérification selon le BAEL

Pour effectuer cette vérification, nous allons suivre une procédure claire et structurée, résumée dans les organigrammes de calcul du BAEL (Béton Armé aux États Limites). Le principe est simple :

Effort de poinçonnement agissant ( $P_{u}^{'}$ ) ≤ Effort de poinçonnement résistant ( $V_{R}$ )

Nous allons calculer ces deux termes séparément. Pour cela, nous nous appuierons sur le document suivant qui synthétise parfaitement la méthode.

[PDF] Résumé sous forme d'organigrammes de la norme BAEL

Ce document est un excellent guide pratique. Il nous donne toutes les formules dont nous avons besoin sous la forme d'un organigramme simple à suivre.

Repérez la section intitulée Vérification du non poinçonnement. C'est notre feuille de route pour cette leçon. Ne vous préoccupez pas encore de G_0, nous allons utiliser une approche équivalente et plus directe.

Étape 1 : Calcul de l'effort de poinçonnement agissant ( $P_{u}^{'}$ )

L'effort agissant, noté $P_{u}^{'}$ , n'est pas simplement la charge du poteau $N_{u}$ . Il faut soustraire la partie de la réaction du sol qui se trouve directement sous la zone d'influence du poteau, car cette pression vers le haut soulage la semelle et s'oppose au poinçonnement.

La méthode consiste à :

Calculer la contrainte uniforme du sol à l'ELU ( $σ_{u}$ ).
Définir une surface "de diffusion" ( $S_{2}$ ) à la base de la semelle.
Calculer l'effort du sol agissant à l'extérieur de cette surface.

1. Contrainte du sol à l'ELU ( $σ_{u}$ )
Cette contrainte est la charge ultime du poteau répartie sur toute la surface de la semelle.

σ_{u} = \frac{N _{u}}{A \times B}

Avec nos données :

$N_{u} = 2220 kN$
$A = 2, 37 m$
$B = 2, 27 m$

σ_{u} = \frac{2220}{2 , 37 \times 2 , 27} = \frac{2220}{5 , 3799} \approx 412, 65 kN/m^{2}

2. Surface de diffusion ( $S_{2}$ )
Selon les règles du BAEL (voir l'organigramme), cette surface est définie par des dimensions $a_{2}$ et $b_{2}$ , correspondant à une diffusion de la charge à 45° à travers la hauteur h de la semelle.

$a_{2} = a + 2 h$
$b_{2} = b + 2 h$

Avec nos données :

$a = 0, 50 m$ , $b = 0, 40 m$
$h = 0, 55 m$

a_{2} = 0, 50 + 2 \times 0, 55 = 1, 60 m

b_{2} = 0, 40 + 2 \times 0, 55 = 1, 50 m

3. Effort de poinçonnement ( $P_{u}^{'}$ )
C'est la contrainte du sol multipliée par la surface de la semelle située à l'extérieur de $S_{2}$ .

P_{u}^{'} = σ_{u} \times (A \times B - a_{2} \times b_{2})

P_{u}^{'} = 412, 65 kN/m^{2} \times (5, 3799 m^{2} - 1, 60 m \times 1, 50 m)

P_{u}^{'} = 412, 65 \times (5, 3799 - 2, 40) = 412, 65 \times 2, 9799

P_{u}^{'} = 1229, 78 kN

Étape 2 : Calcul de l'effort résistant ( $V_{R}$ )

L'effort résistant dépend de la capacité du béton à résister au cisaillement le long d'un "périmètre critique".

1. Périmètre critique ( $u_{c}$ )
Ce périmètre est défini à une certaine distance du poteau. Selon la méthode simplifiée pour les semelles de l'organigramme, il est défini par les dimensions $a_{1}$ et $b_{1}$ .

$a_{1} = a + h$
$b_{1} = b + h$
$u_{c} = 2 \times (a_{1} + b_{1})$

Illustration du principe du périmètre critique `u` autour d'un poteau. Nous utilisons ici un périmètre rectangulaire simple.

Avec nos données :

a_{1} = 0, 50 + 0, 55 = 1, 05 m

b_{1} = 0, 40 + 0, 55 = 0, 95 m

u_{c} = 2 \times (1, 05 + 0, 95) = 2 \times 2, 00 = 4, 00 m

2. Effort résistant ( $V_{R}$ )
La formule donnée par l'organigramme BAEL est :

V_{R} = 0, 045 \times u_{c} \times h \times \frac{f _{c 28}}{γ _{b}}

Le terme $\frac{f _{c 28}}{γ _{b}}$ est la contrainte de calcul du béton, $f_{c d}$ , que nous connaissons déjà.

Avec nos données :

$u_{c} = 4, 00 m$
$h = 0, 55 m$
$f_{c 28} = 25 MPa$
$γ_{b} = 1, 5$
$f_{c d} = 25/1, 5 \approx 16, 67 MPa = 16670 kN/m^{2}$

Calculons $V_{R}$ :

V_{R} = 0, 045 \times 4, 00 m \times 0, 55 m \times \frac{25 MPa}{1 , 5}

En utilisant les unités de base (MN et m) pour éviter les erreurs : $25 MPa = 25 MN/m^{2}$ .

V_{R} = 0, 045 \times 4, 00 \times 0, 55 \times \frac{25}{1 , 5} = 0, 099 \times 16, 67 \approx 1, 65 MN

V_{R} = 1650 kN

Étape 3 : Vérification

Nous comparons maintenant l'effort agissant et l'effort résistant.

Effort agissant : $P_{u}^{'} = 1229, 78 kN$
Effort résistant : $V_{R} = 1650 kN$

La condition est $P_{u}^{'} \leq V_{R}$ .

1229, 78 kN \leq 1650 kN

La condition est vérifiée. Notre semelle, avec sa hauteur totale de 55 cm, est suffisamment épaisse pour ne pas risquer de rompre par poinçonnement.

Pour consolider votre compréhension, vous pouvez consulter l'exemple numérique dans le document suivant, qui applique exactement la même logique sur un cas différent.

[PDF] Chapitre 4 Fondations superficielles - Home | ops.univ-batna2.dz

Ce document contient un exemple complet qui vous montrera une autre application de la méthode que nous venons d'utiliser.

Lisez la section 6.14.3 application. Comparez leur démarche (calcul de P_u', calcul du périmètre, vérification finale) avec la nôtre. Notez qu'ils utilisent P_u + 1.35gs pour la charge totale, ce qui est une approche légèrement différente mais qui mène au même type de vérification.

Conclusion

Félicitations ! Nous avons validé une des vérifications les plus critiques dans la conception d'une fondation. Notre semelle est maintenant non seulement correctement dimensionnée et ferraillée pour la flexion, mais elle est aussi assez robuste pour résister au poinçonnement.

Points clés à retenir :

Le poinçonnement est un risque de rupture par cisaillement sous une charge concentrée.
La vérification consiste à s'assurer que l'effort de poinçonnement agissant ( $P_{u}^{'}$ ) est inférieur à l'effort résistant du béton ( $V_{R}$ ).
L'effort agissant $P_{u}^{'}$ n'est pas la charge totale du poteau, mais la force nette résultant de la pression du sol à l'extérieur d'une "zone de diffusion".
L'effort résistant $V_{R}$ dépend principalement du périmètre critique ( $u_{c}$ ) et de la hauteur de la semelle ( $h$ ), ce qui montre que la hauteur est le paramètre clé pour résister au poinçonnement.
Pour notre semelle, la vérification $1229, 78 kN \leq 1650 kN$ est satisfaite.

Dans la prochaine et dernière leçon de calcul, nous répondrons aux questions finales de l'exercice : nous verrons s'il est possible de concevoir une semelle à glacis (pente) et nous aborderons la création des dessins de ferraillage, ce qui fera appel à votre intérêt pour le dessin par ordinateur.

Recommended resources

1. Qu'est-ce que le poinçonnement ?

2. La Méthode de Vérification selon le BAEL

Étape 1 : Calcul de l'effort de poinçonnement agissant (Pu′​)

Étape 2 : Calcul de l'effort résistant (VR​)

Étape 3 : Vérification

Conclusion

Étape 1 : Calcul de l'effort de poinçonnement agissant ( $P_{u}^{'}$ )

Étape 2 : Calcul de l'effort résistant ( $V_{R}$ )