Alt Gruplar ve Alt Grup Testi

1. Altgrup Nedir?

Bir grup, soyut bir cebirsel yapıdır. Bu yapının içinde, aynı işlem altında yine bir grup yapısı sergileyen daha küçük "cepler" veya "alt yapılar" bulunabilir. İşte bu yapılara altgrup diyoruz.

Resmi tanım şöyledir: Bir $G$ grubu ve onun boş olmayan bir $H$ alt kümesi verildiğinde, eğer $H$ kümesi de $G$'deki aynı işlem altında bir grup oluşturuyorsa, $H$'ye $G$'nin bir altgrubu denir ve bu durum $H\le G$ ile gösterilir.

Bu konudaki temel tanımları ve ilk örnekleri görmek için aşağıdaki metni inceleyelim.

Herhangi bir $G$ grubunun her zaman en az iki altgrubu vardır:

1. Kendisi: $G\le G$
2. Sadece birim elemanı içeren trivial (aşikar) altgrup: $\{e\}\le G$

Bunların dışındaki altgruplara has (proper) altgruplar denir. Bizim asıl ilgilendiğimiz, grupların yapısı hakkında daha fazla bilgi veren bu has altgruplardır.

2. Altgrup Testleri: Daha Verimli Bir Yol

Bir $H$ alt kümesinin altgrup olduğunu göstermek için dört grup aksiyomunu da (kapalılık, birleşme, birim eleman, ters eleman) sağladığını göstermek gerekir. Ancak bu genellikle gereksiz bir çabadır. Neyse ki, bu süreci önemli ölçüde kısaltan testler mevcuttur.

Birleşme (asosyatiflik) özelliği, ana grup $G$'den otomatik olarak alt küme $H$'ye miras kalır. Dolayısıyla bunu kontrol etmemize gerek yoktur. Peki ya diğerleri? Aslında sadece iki temel özelliği kontrol etmek yeterlidir. Bu, İki Adımlı Altgrup Testi olarak bilinir.

Bu testin neden yeterli olduğunu anlamak, yani kanıtını görmek, matematiksel temelleri sağlam atmak açısından önemlidir. Aşağıdaki video, bu testin mantığını ve ispatını çok anlaşılır bir şekilde açıklıyor.

Gördüğünüz gibi, bir alt kümenin kapalı olması ve her elemanının tersini de içermesi, birim elemanın da o kümede bulunmasını garanti ediyor. Bu sayede, test basitleşiyor:

İki Adımlı Altgrup Testi: Bir $G$ grubunun boş olmayan bir $H$ alt kümesinin bir altgrup olması için gerek ve yeter koşul şudur:

1. Kapalılık: Her $a,b\in H$ için $a\cdot b\in H$.
2. Ters Eleman: Her $a\in H$ için $a^{-1}\in H$.

Hatta bu iki adımı birleştiren daha da şık bir test vardır:

Tek Adımlı Altgrup Testi: Bir $G$ grubunun boş olmayan bir $H$ alt kümesinin bir altgrup olması için gerek ve yeter koşul şudur: Her $a,b\in H$ için $a\cdot b^{-1}\in H$.

Son olarak, eğer çalıştığımız grup sonlu ise işimiz daha da kolaylaşır:

Sonlu Altgrup Testi: Sonlu bir grubun boş olmayan bir $H$ alt kümesinin altgrup olması için gerek ve yeter koşul, $H$'nin işlem altında kapalı olmasıdır.

Bu testlerin formal ifadeleri ve kanıtları için daha önce baktığımız "Subgroups" makalesine geri dönebilirsiniz. Özellikle "Subgroup Tests" başlığı altındaki teoremleri incelemenizi öneririm.

3. Örnek Grupların Altgrupları

Şimdi bu testleri, somut grupların iç yapılarını anlamak için kullanalım.

A. Simetrik Grup $S_n$'in Altgrupları

Geçen dersin ana konusu olan $S_n$ ile başlayalım. $S_n$ zengin bir altgrup yapısına sahiptir.

1. Döngüsel Altgruplar (Cyclic Subgroups): En basit altgruplar, tek bir eleman tarafından "üretilenlerdir". $S_n$'den bir $\sigma$ permütasyonu alalım. Bu permütasyonun tüm kuvvetlerinden (pozitif, negatif ve sıfırıncı kuvvet olan birim eleman) oluşan küme, $⟨\sigma ⟩$ ile gösterilir ve $\sigma$ tarafından üretilen döngüsel altgrubu oluşturur. Sonlu bir grup olan $S_n$'de çalıştığımız için, Sonlu Altgrup Testi'ne göre sadece kapalılığı kontrol etmek yeterlidir ve bu tanım gereği sağlanır.

Örneğin, $S_3$'te $\sigma =(123)$ elemanını ele alalım:

• ${\sigma }^1=(123)$
• ${\sigma }^2=(123)(123)=(132)$
• ${\sigma }^3=(123)(132)=e$ (birim permütasyon)

Bu durumda, $⟨(123)⟩=\{e,(123),(132)\}$ kümesi, $S_3$'ün 3 elemanlı bir altgrubudur.

2. $S_3$'ün Tüm Altgrupları:
$S_3$ küçük ama öğretici bir örnektir. 6 elemanı vardır: $e,(12),(13),(23),(123),(132)$. Bu grubun tüm altgruplarını bulma sürecini izlemek, altgrup bulma mantığını pekiştirmek için harika bir yoldur.

3. Alternatif Grup $A_n$:
$S_n$'in belki de en önemli has altgrubu, alternatif grup $A_n$'dir. $A_n$, çift sayıda transpozisyonun çarpımı olarak yazılabilen tüm permütasyonlardan oluşur. Bu permütasyonlara çift (even) permütasyonlar denir.

B. Dihedral Grup $D_{2n}$'nin Altgrupları

Dihedral grup $D_{2n}$, düzgün bir n-gen'in simetri grubudur. Bu grubun elemanları, n-gen'i kendisine oturtan dönmeler ve yansımalardır. Toplamda $2n$ elemanı vardır: $n$ tane dönme ve $n$ tane yansıma.

Önce bu grubu daha yakından tanıyalım.

Artık $D_{2n}$ grubunu tanıdığımıza göre, onun bariz bir altgrubunu görebiliriz:

1. Dönme Altgrubu: $D_{2n}$ içindeki $n$ tane dönmenin tamamını içeren küme, $\{e,r,r^2,\dots ,r^{n-1}\}$, $D_{2n}$'in bir altgrubudur.

• Kapalılık: İki dönmenin bileşkesi yine bir dönmedir ($r^i\cdot r^j=r^{i+j}$).
• Ters Eleman: Bir dönmenin tersi de bir dönmedir ($(r^i{)}^{-1}=r^{n-i}$).
  Dolayısıyla, dönmeler kümesi $D_{2n}$'in $n$ elemanlı bir altgrubunu oluşturur. Bu, aynı zamanda $⟨r⟩$ ile üretilen döngüsel bir altgruptur.

2. $D_{2n}$'nin $S_n$'in Altgrubu Olması:
Düzgün bir n-gen'in köşelerini 1'den n'ye kadar numaralandırırsak, her bir simetri (dönme veya yansıma) bu köşelerin bir permütasyonuna karşılık gelir. Örneğin, bir karede ($n=4$) saat yönünün tersine 90 derecelik bir dönme, köşeleri $1\to 2\to 3\to 4\to 1$ şeklinde yer değiştiren $(1234)$ permütasyonuna denk gelir. Bu nedenle, dihedral grup $D_{2n}$, simetrik grup $S_n$'in bir altgrubu olarak düşünülebilir, $D_{2n}\le S_n$.

Özet ve Sonraki Adımlar

Bu derste grupların iç yapılarını anlamak için çok önemli bir adım attık:

• Bir grubun, aynı işlem altında kendisi de bir grup olan alt kümelerine altgrup dendiğini öğrendik.
• Bir alt kümenin altgrup olup olmadığını kontrol etmek için tüm aksiyomları test etmek yerine, Tek Adımlı, İki Adımlı ve Sonlu Altgrup Testleri gibi verimli yöntemler olduğunu gördük.
• Bu testleri kullanarak $S_n$'in döngüsel altgruplarını ve en önemli altgruplarından biri olan alternatif grup $A_n$'i tanımladık.
• Geometrik simetrileri temsil eden dihedral grup $D_{2n}$'i ve onun içindeki dönme altgrubunu inceledik.

Artık bir grubun altgruplarını nasıl tanımlayacağımızı ve bulacağımızı biliyoruz. Bir sonraki dersimizde, bir altgrup kullanarak ana grubu nasıl anlamlı parçalara ayırabileceğimizi göreceğiz. Bu parçalara kosetler (cosets) denir. Koset kavramı, grup teorisinin en temel sonuçlarından biri olan ve dersimizin ilerleyen kısımları için kilit rol oynayan Lagrange Teoremi'ne giden yolu açacaktır.