Bir önceki dersimizde, bir grubun içindeki daha küçük grup yapıları olan altgrupları ve onları verimli bir şekilde tespit etmemizi sağlayan testleri inceledik. Bu, grup yapılarının daha derinine inmek için attığımız ilk adımdı. Artık bir altgrubun, ana grubu nasıl yapısal "parçalara" ayırdığını keşfetmeye hazırız.
Bu derste, koset (coset) kavramını öğreneceğiz. Sezgisel olarak bir koset, bir altgrubun ana grup içindeki "kaydırılmış" bir kopyasıdır. Bir altgrup alıp, onu grubun bir elemanıyla "çarptığımızda" ortaya çıkan bu yeni kümelerin özelliklerini inceleyeceğiz. Dersin hedefi, bir altgrubun sol ve sağ kosetlerini tanımlamak ve bu tanımı somut örnekler üzerinden anlamlandırmaktır. Bu kavram, bir sonraki adımda kanıtlayacağımız ve grup teorisinin temel taşlarından olan Lagrange Teoremi'ne giden yolu açacaktır.
1. Kosetler: Bir Altgrubun Kaydırılmış Kopyaları
Bir grubumuz ve bu grubun bir altgrubu olduğunu düşünelim. grubundan herhangi bir elemanı alıp 'nin her elemanıyla soldan çarparsak, ile gösterilen yeni bir küme elde ederiz. Benzer şekilde, sağdan çarparsak kümesini elde ederiz. İşte bu kümelere koset denir.
Aşağıdaki video, sol ve sağ kosetlerin resmi tanımını çok net bir şekilde veriyor.
Abstract Algebra | Cosets of a subgroup.
Michael Penn'in "Abstract Algebra | Cosets of a subgroup" videosu, konuya doğrudan bir giriş yapıyor.
Videonun ilk 42 saniyesini izleyerek başlayın. Bu bölümde, bir G grubu ve H altgrubu için sol koset gH ve sağ koset Hg'nin nasıl tanımlandığını göreceksiniz. gH = \{gh \mid h \in H\} Hg = \{hg \mid h \in H\}
Gördüğünüz gibi, bir koset, bir altgrubun tüm elemanlarının bir grup elemanıyla (soldan veya sağdan) çarpılmasıyla oluşan bir kümedir. Bu çarpımı yapan elemanına kosetin temsilcisi (representative) denir.
Bu tanımın en sezgisel olduğu yerlerden biri, tamsayılar grubudur. Bir önceki dersten hatırlayacağınız üzere, kümesi, grubunun bir altgrubudur. Bu altgrubun kosetleri, aslında liseden beri aşina olduğunuz bir kavramdır: denklik sınıfları.
Bu bağlantıyı görmek için aynı videonun bir sonraki bölümünü izleyelim.
Abstract Algebra | Cosets of a subgroup.
Michael Penn'in videosu, kosetleri denklik sınıflarıyla ilişkilendirerek harika bir örnek sunuyor.
Bu bölümü izleyin. Burada grup olarak \mathbb{Z} ve altgrup olarak 4\mathbb{Z} (4'ün katları) alınıyor. Kosetler, toplamsal notasyonla g+H şeklinde yazılır. Videoda 0+4\mathbb{Z}, 1+4\mathbb{Z}, 2+4\mathbb{Z} ve 3+4\mathbb{Z} kosetlerinin nasıl hesaplandığı gösteriliyor. Bu kosetlerin sırasıyla 4'e bölündüğünde 0, 1, 2 ve 3 kalanını veren tamsayılar kümeleri olduğuna dikkat edin. Ayrıca, 4+4\mathbb{Z} kosetini hesapladığımızda tekrar 0+4\mathbb{Z}'ye, yani altgrubun kendisine döndüğümüzü göreceksiniz. Bu, \mathbb{Z} grubunun bu dört koset tarafından tamamen "parçalandığını" gösterir.
Abelyen (değişmeli) gruplarda, işlem değişmeli olduğu için sol ve sağ kosetler her zaman aynıdır: . Ancak, önceki derslerde incelediğimiz simetrik ve dihedral gruplar gibi abelyen olmayan gruplarda durum daha ilginç bir hal alır.
2. Kosetler Her Zaman Altgrup Değildir
Kosetler, yapısal olarak altgrubun "kopyaları" olsa da, genellikle kendileri birer altgrup değildirler. Bir altgrubun en temel özelliği birim elemanı içermesidir. Bir kosetinin bir altgrup olabilmesi için olması gerekir.
Bu durumu görselleştirmek için grubunun Cayley grafiğine bakalım. Bir önceki derste 'ün altgruplarını incelerken gibi 2 elemanlı altgruplar bulmuştuk. (Burada birim permütasyon, bir transpozisyon , ise bir 3-döngü olarak düşünülebilir).
Bu görsel, S₃ içindeki H = {e, f} altgrubunun (solda yeşil) ve onun rH = {r, rf} (ortada yeşil) ve r²H = {r², r²f} (sağda yeşil) sol kosetlerinin "kopyalarını" göstermektedir. Sadece soldaki kümenin birim eleman 'e'yi içerdiğine ve dolayısıyla bir altgrup olduğuna dikkat edin. Diğer iki küme, H'nin yapısal kopyaları olmalarına rağmen birim elemanı içermedikleri için altgrup değildirler; onlar birer kosettir.
Görselden de anlaşılacağı üzere, altgrubunu ve elemanlarıyla "kaydırdığımızda" elde ettiğimiz kosetler, artık birim elemanı içermezler. Dolayısıyla bu kosetler altgrup değildir. Genel olarak, bir kosetinin altgrup olması için gerek ve yeter koşul olmasıdır. Eğer ise, olur, yani koset altgrubun kendisidir.
3. Sol ve Sağ Kosetlerin Farkı
Abelyen olmayan gruplarda, bir altgrubun sol ve sağ kosetleri farklı kümeler olabilir. Bu, grup teorisindeki temel bir ayrımdır ve ileride "normal altgruplar" kavramını anlarken merkezi bir rol oynayacaktır. Bu durumu üzerinde net bir şekilde görebiliriz.
Yine ve alalım. Şimdi elemanı için sol ve sağ kosetleri hesaplayalım.
- Sol Koset:
- Sağ Koset:
Gördüğünüz gibi, . Kümelerdeki bir eleman ortak ((13)) olsa da, diğer elemanlar farklıdır. Bu, abelyen olmayan bir grupta işlem sırasının önemini bir kez daha vurgular.
Aşağıdaki metin, bu ayrımı bir tablo ile çok net bir şekilde özetlemektedir.
Cosets and Lagrange's theorem - Keith Conrad
Keith Conrad'ın bu ders notları, kosetlerin tanımını ve temel örneklerini içeriyor.
Lütfen metnin başından başlayarak bu kısma kadar okuyun. Metin, önce kosetleri tanımlıyor. Ardından, "Example 1.4" altındaki tabloya odaklanın. Bu tabloda S_3 grubundaki H = \{(1), (12)\} altgrubu için tüm elemanların sol (gH) ve sağ (Hg) kosetleri listelenmiştir. Özellikle g=(13) için gH ve Hg satırlarının birbirinden farklı olduğuna dikkat edin.
4. Koset Temsilcileri
Örneklerde fark etmiş olabileceğiniz bir diğer önemli nokta, farklı elemanların aynı koseti temsil edebilmesidir. Tıpkı 'de kosetinin aynı zamanda veya olarak da adlandırılabilmesi gibi.
Bir koset, içindeki herhangi bir eleman tarafından temsil edilebilir. Yani, eğer ise, o zaman olur.
Bu durumu daha iyi anlamak için Michael Penn'in videosundan başka bir örnek inceleyelim.
Abstract Algebra | Cosets of a subgroup.
Michael Penn'in videosu, bu kez sonlu bir grup olan Z_8 üzerinde kosetleri ve temsilcileri gösteriyor.
Lütfen videonun bu bölümünü izleyin. Burada G=Z_8 ve H = \langle 2 \rangle = \{0, 2, 4, 6\} alınıyor. 0+H = \{0, 2, 4, 6\} 1+H = \{1, 3, 5, 7\} Şimdi 2+H kosetini hesapladığınızda, sonucun \{2, 4, 6, 0\} olduğunu, yani 0+H ile aynı küme olduğunu göreceksiniz. Benzer şekilde 3+H, 1+H ile aynıdır. Bu, 0 ve 2'nin (veya 4, 6) aynı kosetin farklı temsilcileri olduğu anlamına gelir. Aynı durum 1, 3, 5 ve 7 için de geçerlidir. Sonuç olarak, 8 elemanlı Z_8 grubu, her biri 4 elemanlı iki kosete ayrılmıştır.
Özet ve Sonraki Adımlar
Bu derste grup teorisinin merkezi bir kavramını öğrendik:
- Bir altgrubunun sol koseti () ve sağ koseti (), altgrubun bir grup elemanıyla çarpılmasıyla elde edilen kümelerdir.
- Kosetler genellikle birer altgrup değildir çünkü birim elemanı içermezler. Bir kosetin altgrup olması için gerek ve yeter koşul, temsilcisinin altgrubun elemanı olmasıdır ().
- Abelyen gruplarda sol ve sağ kosetler daima aynıdır, ancak abelyen olmayan gruplarda farklı olabilirler ().
- Bir koset, içindeki herhangi bir eleman tarafından temsil edilebilir ().
Bu derste bir altgrubun oluşturduğu "parçaları" tanımladık. Örneklerde, bu parçaların (kosetlerin) ana grubu hiçbiri birbiriyle kesişmeyecek şekilde tamamen kapladığını gördük. Bir sonraki dersimizde, bu gözlemi matematiksel olarak kanıtlayacağız: bir altgrubun sol (veya sağ) kosetleri kümesi, ana grup üzerinde bir ayrışım (partition) oluşturur. Bu kanıt, bizi doğrudan Lagrange Teoremi'ne götürecek olan kritik bir adımdır.