Закон Гука: сила упругости, жёсткость и деформация пружины

Здравствуйте! На прошлом уроке вы определяли, куда действует сила упругости при растяжении и сжатии пружины. Теперь добавим количественный ответ: как найти величину этой силы, жёсткость пружины или изменение её длины. Это завершает первую, срочную часть курса: у вас будет и правило для направления силы, и формула для расчёта, которые можно использовать при разборе школьных задач.

---

От наблюдения к закону Гука

Представьте пружину, к которой подвешивают грузы. Чем больше нагрузка, тем сильнее она растягивается. Но для расчёта важно уточнить: растяжение сравнивают не с произвольной отметкой на линейке, а с длиной пружины без нагрузки.

Посмотрите демонстрацию в видео «Закон Гука и сила упругости» канала GetAClass — Physics in experiments. Обратите внимание, что при добавлении одинаковых грузов удлинение возрастает примерно на одинаковую величину.

В пределах упругой деформации наблюдение описывает закон Гука: модуль силы упругости прямо пропорционален модулю изменения длины пружины. Если $l_0$ — длина недеформированной пружины, а $l$ — её длина после деформации, то

$$F_{\text{упр}}=k|l-l_0|.$$

Здесь $F_{\text{упр}}$ — модуль силы упругости, $k$ — жёсткость пружины, а $|l-l_0|$ — величина деформации. Её часто обозначают $\Delta l$, считая это обозначение положительной величиной. Тогда формула короче:

$$F_{\text{упр}}=k\Delta l.$$

Рассмотрите рисунок: наверху пружина не деформирована, посередине растянута, внизу сжата. Формула слева позволяет найти величину силы в обоих нижних случаях; направление стрелки силы, как вы уже знаете, определяется отдельно.

---

Что означает жёсткость и когда работает формула

Жёсткость $k$ показывает, какая сила упругости приходится на единицу деформации. В системе СИ силу измеряют в ньютонах (Н), изменение длины — в метрах (м), поэтому единица жёсткости — Н/м. Например, для пружины жёсткостью $200\text{Н/м}$ изменение длины на $0,01\text{м}$ соответствует силе упругости $2\text{Н}$.

Чем больше $k$, тем больше сила при одинаковой деформации. Сравнение имеет смысл именно при одинаковом изменении длины: если одну пружину растянули на сантиметр, а другую — на пять, по одним лишь значениям сил нельзя сразу сказать, какая пружина жёстче.

Закон Гука — не утверждение о любой пружине при любом растяжении. Мы используем его там, где деформация остаётся упругой и зависимость силы от изменения длины достаточно близка к прямой пропорциональности. Если пружину перерастянуть так, что она не возвращается к прежней длине, рассчитывать её дальнейшее поведение по прежнему значению $k$ нельзя.

Важно также не смешивать силу упругости с силой, которой тянут пружину. В опыте с неподвижно удерживаемым концом их модули равны, а направления противоположны. Если же прикреплённое тело ускоряется, равенство модулей этих двух сил нельзя принимать без анализа всех действующих на него сил.

---

Три неизвестные — одна зависимость

В задачах закон Гука остаётся одним и тем же; меняется только искомая величина. Удобно сначала записать его для модулей, а затем выразить неизвестное:

$$F_{\text{упр}}=k\Delta l,k=\frac{F_{\text{упр}}}{\Delta l},\Delta l=\frac{F_{\text{упр}}}{k}.$$

Перед подстановкой проверьте, что деформация выражена в метрах, сила — в ньютонах, а жёсткость — в Н/м. Затем оцените смысл ответа: большая жёсткость при той же силе должна давать меньшую деформацию.

В видео «Физика. Решение задач на тему „Сила упругости и закон Гука“» репетиторского центра «Парацемус» разберите два первых решения. Они показывают переход от словесного условия к нужной форме закона Гука и перевод сантиметров в метры.

Теперь разберём все три варианта на одних и тех же принципах.

Найти силу. Пружина длиной $20\text{см}$ стала длиной $26\text{см}$; её жёсткость $150\text{Н/м}$. Изменение длины равно $6\text{см}=0,06\text{м}$. Значит,

$$F_{\text{упр}}=150\text{Н/м}\cdot 0,06\text{м}=9\text{Н}.$$

Если пружина закреплена слева, она действует на тело у своего растянутого правого конца влево. Число $9\text{Н}$ задаёт модуль; направление мы установили по схеме.

Найти жёсткость. Пружину сжали на $3\text{см}$, и модуль её силы упругости составил $6\text{Н}$. Сжатие тоже является деформацией: $\Delta l=0,03\text{м}$. Тогда

$$k=\frac{6\text{Н}}{0,03\text{м}}=200\text{Н/м}.$$

В расчёте жёсткости не требуется приписывать сжатию «отрицательную длину»: здесь мы используем модуль изменения длины.

Найти деформацию и новую длину. При силе упругости $8\text{Н}$ пружина жёсткостью $200\text{Н/м}$ изменяет длину на

$$\Delta l=\frac{8\text{Н}}{200\text{Н/м}}=0,04\text{м}=4\text{см}.$$

Если первоначальная длина равна $17\text{см}$, одной только величины силы недостаточно, чтобы назвать новую длину: при растяжении она равна $21\text{см}$, а при сжатии — $13\text{см}$. Закон Гука дал величину изменения; вид деформации определяет, прибавить её или вычесть.

---

Почему иногда в формуле стоит минус

В прошлом уроке вы использовали смещение конца пружины относительно недеформированного положения. Если направить координатную ось вправо и обозначить смещение со знаком через $x=l-l_0$, то проекция силы упругости записывается так:

$$F_{\text{упр},x}=-kx.$$

Минус сообщает о направлении: при смещении конца вправо сила направлена влево, при смещении влево — вправо. Он не означает, что модуль силы может быть отрицательным. Формулы $F_{\text{упр}}=k|x|$ и $F_{\text{упр},x}=-kx$ описывают одно и то же явление, но отвечают на разные вопросы: первая — насколько велика сила, вторая — какова её проекция на выбранную ось.

При объяснении школьной задачи полезно явно назвать, какой записью вы пользуетесь. Если спрашивают «найдите силу упругости» и нужна её величина, обычно достаточно формулы для модуля, единиц и отдельного указания направления. Если составляют уравнение движения вдоль оси, знак проекции уже существенен.

---

Итог

Для пружины, подчиняющейся закону Гука, модуль силы упругости равен $k\Delta l$, где $\Delta l$ — модуль изменения её длины. Из этой зависимости можно найти любую из трёх величин: силу, жёсткость или деформацию. В расчёте используйте согласованные единицы СИ, а направление силы определяйте отдельно по тому, растянута пружина или сжата.

Далее курс перейдёт к математическому языку и измерениям в механике: вы систематизируете перевод величин в СИ — навык, который уже понадобился в сегодняшних расчётах.