Propriétés du produit matriciel

Bonjour ! Dans la leçon précédente, vous avez appris à calculer le produit de deux matrices. À travers l'un des exercices, vous avez calculé $AB$ et $BA$ et constaté que non seulement les résultats étaient différents, mais qu'ils n'avaient même pas la même taille. Cette observation est le point de départ idéal pour notre leçon du jour.

L'objectif est maintenant d'appliquer les propriétés du produit matriciel. Tout comme l'addition et la multiplication des nombres réels suivent des règles (comme $a+b=b+a$ ou $a(b+c)=ab+ac$), le produit matriciel a aussi ses propres règles. Certaines vous sembleront familières, mais l'une d'entre elles, la non-commutativité que vous avez déjà entrevue, est une différence fondamentale avec l'algèbre classique. Maîtriser ces propriétés est indispensable pour manipuler correctement les équations matricielles, une compétence clé pour la suite de ce cours.

La propriété la plus importante : la non-commutativité

C'est la règle la plus surprenante et la source de nombreuses erreurs. Retenez bien ceci : en général, le produit matriciel n'est pas commutatif.

Non-commutativité : $AB\ne BA$

Cela signifie que l'ordre dans lequel vous multipliez les matrices a une importance capitale. Vous l'avez déjà vu lorsque le produit $AB$ était une matrice 2x2 et $BA$ une matrice 3x3. Mais même pour des matrices carrées de même taille, l'égalité est l'exception, pas la règle.

Pour vous en convaincre par un calcul simple, réalisons l'exercice suivant.

Cette non-commutativité a des conséquences directes sur les identités algébriques que vous connaissez. Par exemple, l'identité remarquable $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ est fausse pour les matrices !
En effet, $(A+B{)}^2=(A+B)(A+B)=A(A+B)+B(A+B)=A^2+AB+BA+B^2$.
Puisque $AB\ne BA$, on ne peut pas regrouper $AB$ et $BA$ en $2AB$.

Cette erreur est si fréquente qu'il est bon de la lire explicitement.

Propriétés "classiques" : Associativité et Distributivité

Heureusement, toutes les propriétés ne sont pas aussi déroutantes. Le produit matriciel est associatif et distributif, tout comme la multiplication des nombres.

1. Associativité : $(AB)C=A(BC)$
   Cela signifie que pour un produit de trois matrices, vous pouvez commencer par calculer $AB$ puis multiplier le résultat par $C$, ou commencer par calculer $BC$ et le multiplier par $A$. Le résultat final sera le même. On peut donc écrire $ABC$ sans ambiguïté.

2. Distributivité :

   • À gauche : $A(B+C)=AB+AC$
   • À droite : $(A+B)C=AC+BC$
     Cela signifie que vous pouvez "développer" les produits matriciels comme vous en avez l'habitude.

Mettons ces deux propriétés en pratique avec un exercice de vérification par le calcul.

Exercice de vérification

Soient les trois matrices suivantes :

1. Vérifiez l'associativité :

   • Calculez d'abord $P=AB$, puis calculez $PC$.
   • Calculez ensuite $Q=BC$, puis calculez $AQ$.
   • Vérifiez que vous obtenez bien la même matrice finale.

2. Vérifiez la distributivité (à gauche) :

   • Calculez d'abord $S=B+C$, puis calculez $AS$.
   • Calculez ensuite $AB$ et $AC$ séparément, puis calculez leur somme $AB+AC$.
   • Vérifiez que les deux résultats sont identiques.

Prenez le temps de faire ces calculs. C'est le meilleur moyen d'intégrer ces règles.

Autres propriétés notables

Pour compléter notre tour d'horizon, voici quelques autres règles importantes.

Diviseurs de zéro

Pour les nombres réels, si $ab=0$, alors soit $a=0$, soit $b=0$. Ceci est faux pour les matrices.

Il est possible d'avoir $AB=0$ avec $A\ne 0$ et $B\ne 0$.

On dit que l'ensemble des matrices possède des "diviseurs de zéro". Cela implique qu'on ne peut pas "simplifier" une équation $AB=AC$ en $B=C$ sans précaution, car cela équivaut à $A(B-C)=0$, ce qui n'implique pas que $B-C=0$.

Résumé des propriétés

Les deux ressources que nous avons utilisées présentent des listes claires des propriétés. Elles sont utiles à conserver comme aide-mémoire.

L'article d'Excellence-Maths propose un tableau récapitulatif très pratique.

Conclusion

Vous connaissez maintenant les "règles du jeu" de la multiplication matricielle. Voici les points essentiels à retenir :

• Non-commutativité : C'est la différence majeure avec l'algèbre des nombres. En général, $AB\ne BA$. N'utilisez jamais les identités remarquables ou les simplifications qui supposent la commutativité.
• Associativité et distributivité : Ces propriétés fonctionnent comme prévu, vous pouvez donc regrouper et développer les calculs de manière intuitive : $(AB)C=A(BC)$ et $A(B+C)=AB+AC$.
• Diviseurs de zéro : Le fait que $AB=0$ n'implique pas que l'une des matrices soit nulle. Soyez prudent lors des simplifications d'équations.

Dans la prochaine leçon, nous nous pencherons sur la transposée d'une matrice. Vous découvrirez ses propriétés, y compris une règle intéressante pour la transposée d'un produit, $(AB{)}^T=B^T{A}^T$, où l'ordre est, encore une fois, modifié