Algèbre Linéaire et Calcul Matriciel

Calculer le déterminant d'une matrice 2x2.

Calculer le déterminant d'une matrice 3x3 en utilisant la règle de Sarrus.

Calculer le déterminant de n'importe quelle matrice carrée par développement selon une ligne ou une colonne.

Utiliser les propriétés des déterminants pour simplifier leur calcul.

Déterminer si une matrice est inversible en utilisant la valeur de son déterminant.

Définir la matrice inverse et énoncer ses propriétés.

Calculer l'inverse d'une matrice 2x2 à l'aide de la formule directe.

Calculer la comatrice (matrice des cofacteurs) d'une matrice.

Calculer l'inverse d'une matrice carrée en utilisant la méthode de la comatrice.

Calculer l'inverse d'une matrice carrée en utilisant la méthode du pivot de Gauss-Jordan.

Traduire un système d'équations linéaires en équation matricielle AX = B.

Résoudre un système par la méthode d'élimination de Gauss.

Déterminer le rang d'une matrice.

Discuter de l'existence et de l'unicité des solutions d'un système en utilisant son rang.

Résoudre un système de Cramer (det(A)≠0) en utilisant la matrice inverse (X = A⁻¹B).

Résoudre un système de Cramer (2x2 et 3x3) par les formules de Cramer.

Décrire un espace vectoriel à partir des exemples concrets de ℝ², ℝ³ et ℝⁿ.

Vérifier si un ensemble est un sous-espace vectoriel de ℝⁿ.

Définir une combinaison linéaire de vecteurs et déterminer si un vecteur est une combinaison linéaire d'autres.

Définir une famille génératrice et une famille libre de vecteurs.

Déterminer si une famille de vecteurs est libre ou liée en résolvant un système.

Définir une base et la dimension d'un espace vectoriel.

Extraire une base d'une famille génératrice.

Exprimer les coordonnées d'un vecteur dans une base donnée.

Vérifier si une application de ℝⁿ dans ℝᵖ est linéaire.

Déterminer la matrice associée à une application linéaire dans les bases canoniques.

Déterminer le noyau (Ker f) d'une application linéaire en résolvant le système homogène associé.

Déterminer l'image (Im f) d'une application linéaire comme l'espace engendré par les colonnes de sa matrice.

Calculer les dimensions du noyau et de l'image et vérifier le théorème du rang.

Déterminer si une application linéaire est injective, surjective ou bijective à partir des dimensions de son noyau et de son image.

Définir les notions de valeur propre et de vecteur propre d'une matrice.

Calculer le polynôme caractéristique d'une matrice 2x2 ou 3x3.

Trouver les valeurs propres d'une matrice en résolvant l'équation caractéristique det(A - λI) = 0.

Pour chaque valeur propre, déterminer le sous-espace propre associé en résolvant le système (A - λI)X = 0.

Trouver une base pour chaque sous-espace propre.

Déterminer la multiplicité algébrique et géométrique de chaque valeur propre.

Appliquer le critère de diagonalisabilité en comparant les multiplicités pour chaque valeur propre.

Construire la matrice de passage P à partir des vecteurs propres.

Construire la matrice diagonale D à partir des valeurs propres.

Effectuer la diagonalisation d'une matrice A en vérifiant la relation A = PDP⁻¹.

Appliquer la diagonalisation pour calculer efficacement les puissances d'une matrice (Aᵏ).