Formulation du lagrangien sous contrainte d’égalité

Bonjour. Dans la leçon précédente, nous avons relié la convexité et la concavité d’une fonction au signe de sa matrice hessienne. Ces propriétés donneront plus tard de solides garanties sur les solutions trouvées. Mais beaucoup de problèmes économiques ne se résolvent pas sans contrainte : un consommateur maximise son utilité avec un revenu donné, une entreprise minimise son coût pour produire une quantité imposée, etc.

Cette leçon introduit l’outil qui permet de formuler proprement ces problèmes : le lagrangien. L’objectif n’est pas encore de résoudre les conditions du premier ordre — ce sera la prochaine étape — mais de savoir passer sans hésitation d’un programme avec égalité à une fonction lagrangienne correcte.

1. Du programme contraint à une fonction auxiliaire

Un problème d’optimisation sous contrainte d’égalité s’écrit, dans sa forme générale,

x \in D max sous la contrainte f (x) g (x) = 0.

Ici :

$x = (x_{1}, \dots, x_{n})$ est le vecteur des variables de décision ;
$f (x)$ est la fonction objectif à maximiser ou à minimiser ;
$g (x) = 0$ est une contrainte d’égalité ;
$D$ contient les éventuelles restrictions de domaine, par exemple $x > 0$ et $y > 0$ .

La première habitude à prendre est donc de mettre toute contrainte sous la forme :

g (x) = 0.

Par exemple,

3 x + 4 y = 24

peut être réécrite de deux manières équivalentes :

24 - 3 x - 4 y = 0,

ou bien

3 x + 4 y - 24 = 0.

Le choix entre ces deux écritures n’est pas mathématiquement décisif, mais il affecte le signe du multiplicateur que l’on obtiendra plus tard. En économie, il est souvent commode d’écrire une contrainte budgétaire comme « revenu moins dépense » :

R - p_{x} x - p_{y} y = 0.

Cela rendra naturelle l’interprétation économique ultérieure du multiplicateur.

2. La définition du lagrangien

Une fois la contrainte écrite sous la forme $g (x) = 0$ , on introduit une nouvelle variable réelle, le multiplicateur de Lagrange $λ$ . Le lagrangien est la fonction :

L (x, λ) = f (x) + λ g (x) .

Le problème initial, qui portait sur $n$ variables soumises à une contrainte, est ainsi associé à une fonction de $n + 1$ variables.

Pour un problème de maximisation, on rencontre aussi la convention :

L (x, λ) = f (x) - λ g (x) .

Les deux conventions sont strictement équivalentes : changer le signe devant $λ$ revient simplement à remplacer $λ$ par $- λ$ . L’essentiel est d’être cohérent du début à la fin du calcul.

Pour fixer les idées, nous adopterons le plus souvent la convention :

L (x, λ) = f (x) + λ g (x) .

La contrainte est satisfaite en tout point admissible, donc au point recherché :

g (x) = 0.

Par conséquent,

L (x, λ) = f (x)

sur l’ensemble des points qui respectent la contrainte.

Il ne faut toutefois pas conclure que le terme $λ g (x)$ est inutile. Le lagrangien est défini aussi pour des points qui ne respectent pas encore la contrainte. C’est justement en étudiant cette fonction élargie que l’on retrouvera simultanément la condition d’optimalité et la contrainte.

Optimisation sous contrainte avec le Lagrangien

Regardez le début de « Optimisation sous contrainte avec le Lagrangien » de Méthode Maths. La séquence montre clairement les deux gestes essentiels : ramener la contrainte à zéro, puis ajouter son produit par un multiplicateur à la fonction objectif.

Regardez la construction. Repérez en particulier pourquoi une contrainte telle que x-y=1 devient x-y-1=0, et pourquoi le choix du signe devant \lambda ne change pas les solutions finales.

3. Exemple central : le programme du consommateur

Considérons un consommateur qui choisit les quantités $x$ et $y$ de deux biens. Son utilité est :

U (x, y) = x y .

Les prix sont $p_{x} = 3$ et $p_{y} = 4$ , et son revenu est $R = 24$ . Son programme est :

x, y max sous la contrainte x y 3 x + 4 y = 24.

On ne doit pas écrire directement le lagrangien à partir de $3 x + 4 y = 24$ . On commence par isoler le zéro :

24 - 3 x - 4 y = 0.

La formulation lagrangienne devient alors :

L (x, y, λ) = x y + λ (24 - 3 x - 4 y) .

Cette expression contient trois composantes distinctes :

objectif x y + λ e ˊ cart a ˋ la contrainte (24 - 3 x - 4 y) .

Le terme entre parenthèses mesure l’écart budgétaire :

s’il est nul, le panier dépense exactement le revenu ;
s’il est positif, le consommateur ne dépense pas tout son revenu ;
s’il est négatif, le panier coûte plus que le revenu disponible.

À ce stade, on ne cherche ni $x$ , ni $y$ , ni $λ$ . Formuler le lagrangien consiste seulement à produire correctement la fonction :

L (x, y, λ) = x y + λ (24 - 3 x - 4 y)

à partir du programme économique.

Un contrôle très simple

Pour vérifier rapidement une formulation, dérivez mentalement le lagrangien par rapport à $λ$ . Ici,

\frac{\partial L}{\partial λ} = 24 - 3 x - 4 y .

On retrouve exactement le membre de gauche de la contrainte mise sous forme nulle. C’est un excellent test de cohérence : si cette dérivée ne redonne pas la contrainte, la formulation comporte une erreur.

4. Le sens géométrique : la contrainte sélectionne les déplacements possibles

Sans contrainte, chercher un optimum de $f$ revient généralement à chercher un point où son gradient s’annule :

\nabla f (x) = 0.

Sous contrainte, on ne peut plus se déplacer dans toutes les directions : il faut rester sur l’ensemble défini par $g (x) = 0$ . Au point optimal, on ne doit plus pouvoir améliorer l’objectif par un petit déplacement qui respecte cette contrainte.

Les courbes bleues représentent des niveaux constants de la fonction objectif $f(x,y)$, tandis que la courbe rouge représente la contrainte $g(x,y)=c$. À un optimum contraint régulier, la courbe de niveau atteignable est tangente à la contrainte ; leurs gradients, perpendiculaires aux courbes, sont alors parallèles.

Cette image donne l’intuition du lagrangien. Le gradient $\nabla f$ est perpendiculaire aux courbes de niveau de l’objectif, tandis que $\nabla g$ est perpendiculaire à la contrainte. Au point de tangence, ils sont colinéaires : il existe un scalaire $λ$ tel que

\nabla f (x) + λ \nabla g (x) = 0.

Cette relation est précisément la condition qui apparaîtra lorsque l’on dérivera le lagrangien. Pour l’instant, retiens surtout sa logique : le multiplicateur $λ$ permet d’ajuster le gradient de l’objectif à la direction imposée par la contrainte.

5. Deux exemples supplémentaires de formulation

Minimiser une distance sous une contrainte

Considérons le problème :

x, y min sous la contrainte x^{2} + y^{2} x + y = 1.

On écrit la contrainte sous forme nulle :

x + y - 1 = 0.

Le lagrangien est donc :

L (x, y, λ) = x^{2} + y^{2} + λ (x + y - 1) .

La méthode ne dépend pas du fait que l’on maximise ou minimise : dans les deux cas, avec une égalité, le multiplicateur est libre de prendre une valeur positive, nulle ou négative.

Minimiser un coût pour une production donnée

Une entreprise utilise du travail $L$ et du capital $K$ . Elle veut minimiser son coût :

C (L, K) = w L + r K,

tout en produisant exactement $q ˉ$ unités avec la technologie :

F (L, K) = q ˉ .

Le programme est :

L, K min sous la contrainte w L + r K F (L, K) = q ˉ .

Une écriture naturelle de la contrainte est :

q ˉ - F (L, K) = 0.

Le lagrangien associé est :

L (L, K, λ) = w L + r K + λ (q ˉ - F (L, K)) .

Remarque importante : le symbole $q ˉ$ représente une quantité fixée de l’extérieur. Ce n’est pas une variable de décision ; les variables ici sont $L$ , $K$ et le multiplicateur $λ$ .

6. Plusieurs contraintes d’égalité

Un problème peut comporter plusieurs contraintes. Par exemple :

x max sous les contraintes f (x) g_{1} (x) = 0, g_{2} (x) = 0.

Il faut alors introduire un multiplicateur par contrainte :

L (x, λ_{1}, λ_{2}) = f (x) + λ_{1} g_{1} (x) + λ_{2} g_{2} (x) .

Plus généralement, avec $p$ contraintes d’égalité,

g_{1} (x) = 0, \dots, g_{p} (x) = 0,

le lagrangien est :

L (x, λ) = f (x) + j = 1 \sum p λ_{j} g_{j} (x) .

Sous une écriture vectorielle, cela devient :

L (x, λ) = f (x) + λ^{⊤} g (x) .

Cette notation est compacte, mais l’idée reste très simple : chaque égalité possède son propre terme correctif et son propre multiplicateur.

7. Erreurs fréquentes à éviter

Voici une procédure fiable, à appliquer à chaque nouveau problème.

Identifier l’objectif : quelle fonction maximise-t-on ou minimise-t-on ?
Identifier les variables de décision : quelles quantités sont réellement choisies ?
Mettre chaque égalité sous la forme $g (x) = 0$ .
Introduire un multiplicateur par contrainte d’égalité.
Écrire $f (x) + λ g (x)$ , en conservant des parenthèses autour de toute la contrainte.
Vérifier que la dérivée par rapport à $λ$ redonnerait bien la contrainte.

Les erreurs suivantes sont particulièrement courantes :

Erreur	Pourquoi elle pose problème	Correction
Écrire $L = f + λ g$ alors que la contrainte est $g = c$	La contrainte n’est pas ramenée à zéro	Écrire $g - c = 0$ ou $c - g = 0$
Oublier les parenthèses	Seul un morceau de la contrainte est multiplié par $λ$	Écrire $λ (contrainte enti e ˋ re)$
Remplacer immédiatement $g (x)$ par $0$ dans le lagrangien	On efface le terme qui encode la contrainte	Garder $λ g (x)$ dans $L$
Imposer $λ \geq 0$	Une égalité n’impose pas de signe au multiplicateur	Pour une égalité, $λ \in R$
Traiter une inégalité comme une égalité	Les conditions et les signes nécessaires changent	Les inégalités relèvent des conditions de Kuhn-Tucker, vues plus tard

Les contraintes de domaine, telles que $x > 0$ ou $y \geq 0$ , doivent également rester visibles dans le programme. Elles ne disparaissent pas simplement parce que l’on a introduit un lagrangien.

À retenir

Pour un problème sous contrainte d’égalité,

x max sous la contrainte f (x) g (x) = 0,

le lagrangien s’écrit :

L (x, λ) = f (x) + λ g (x)

ou, avec une convention de signe équivalente,

L (x, λ) = f (x) - λ g (x) .

La compétence essentielle est de transformer correctement toute contrainte en une expression égale à zéro, puis de l’ajouter à l’objectif après multiplication par un nouveau scalaire $λ$ . Avec plusieurs égalités, on ajoute un terme et un multiplicateur pour chacune d’elles.

Dans la prochaine leçon, nous calculerons les conditions du premier ordre : dériver le lagrangien par rapport aux variables de décision et par rapport au multiplicateur permettra de produire le système qui caractérise les candidats à l’optimum contraint.

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