¡Hola! Bienvenido/a a nuestra cuarta lección.
En la lección anterior, aprendiste a resolver sistemas de ecuaciones lineales, lo que nos permitió encontrar el punto donde dos relaciones lineales se cruzan, como el punto de equilibrio entre costos e ingresos. Hoy, daremos un paso hacia un concepto más general y fundamental que es la base de casi todos los modelos matemáticos en finanzas: la función.
Una función es la herramienta que usamos para describir con precisión la relación entre dos cantidades, donde una depende de la otra. Por ejemplo, el precio de una acción es una función del tiempo, o el valor de una cartera de inversión es una función de los precios de los activos que la componen. Comprender qué es una función y cuáles son sus límites es esencial para tu camino como quant.
En esta lección, aprenderás a:
- Definir formalmente qué es una función.
- Distinguir entre variable dependiente e independiente.
- Identificar el dominio (los valores de entrada permitidos) y el rango (los valores de salida posibles) de una función.
1. ¿Qué es una Función?
Antes de la definición formal, pensemos en la intuición. Puedes imaginar una función como una "máquina" que toma un valor de entrada (input), le aplica una regla específica, y produce un único valor de salida (output).
Por ejemplo, si la regla es "duplicar el número y sumar 1", y la entrada es 3, la máquina produce 7. Si la entrada es -5, produce -9. La entrada es la variable independiente y la salida es la variable dependiente, porque su valor depende de lo que hayamos introducido.
Para profundizar en esta idea y ver la definición formal, vamos a leer un recurso que lo explica de manera muy clara.
El siguiente texto de Fisicalab, titulado 'Función Matemática', introduce el concepto de variables dependientes e independientes con ejemplos cotidianos y luego presenta la definición formal de una función.
Lee las secciones 'Variables independientes y dependientes' y 'Definición'. Presta especial atención a la condición crucial de que a cada elemento de entrada le corresponde un único elemento de salida.
La idea más importante a retener es que una relación es una función solo si cada entrada tiene exactamente una salida. Por ejemplo, una relación que asigna a cada persona su peso es una función (cada persona tiene un solo peso en un momento dado). Sin embargo, una relación que asigna a cada peso una persona no sería una función si varias personas pesan lo mismo.
2. Dominio, Codominio y Rango
Ahora que sabemos qué es una función, necesitamos un lenguaje preciso para describir sus entradas y salidas. Aquí es donde entran tres conceptos clave:
- Dominio (Domain): El conjunto de todas las posibles entradas que la función puede aceptar.
- Codominio (Codomain): El conjunto de todas las posibles salidas que la función podría teóricamente producir.
- Rango (Range) o Imagen: El conjunto de todas las salidas que la función realmente produce al usar todas las entradas del dominio. El rango es siempre un subconjunto del codominio (a veces pueden ser iguales).
El siguiente recurso continúa la explicación anterior y aclara la sutil pero importante diferencia entre rango y codominio.
Continuemos con el recurso de Fisicalab para definir formalmente el dominio y el rango (o imagen), y para entender la distinción con el codominio.
Lee las secciones 'Dominio e imagen' y '¿Y el codominio?'. Concéntrate en entender la definición de cada término. 'Dominio' es lo que entra, 'Rango' es lo que realmente sale, y 'Codominio' es lo que podría salir.
Para reforzar visualmente estos conceptos, observa la siguiente imagen.
¡Pon a prueba tu comprensión!
Considera las siguientes relaciones, donde la entrada es el primer elemento del par y la salida es el segundo. ¿Cuál de ellas representa una función?
{(1, a), (2, b), (3, c)}{(1, a), (2, b), (1, c)}(Observa que la entrada1tiene dos salidas diferentes){(1, a), (2, a), (3, b)}(Observa que diferentes entradas pueden tener la misma salida)
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Las relaciones 1 y 3 son funciones. La relación 2 no es una función porque a la entrada 1 le corresponden dos salidas distintas (a y c), lo que viola la regla fundamental de "una única salida por entrada". La relación 3 es una función válida; no hay problema en que diferentes entradas (1 y 2) lleven a la misma salida (a).
3. Cómo Encontrar el Dominio y el Rango
En la práctica, las funciones no suelen venir con un dominio explícitamente definido. Cuando se nos da una función como una fórmula algebraica, por ejemplo , asumimos que el dominio es el conjunto más grande de números reales para los cuales la fórmula tiene sentido (esto se llama el dominio natural).
Hay dos reglas principales que debes vigilar para encontrar el dominio de una función algebraica:
- No se puede dividir entre cero. Si tu función tiene una fracción, debes excluir cualquier valor de que haga que el denominador sea cero.
- No se puede sacar la raíz par (cuadrada, cuarta, etc.) de un número negativo. Si tu función tiene una raíz par, debes asegurarte de que la expresión dentro de la raíz sea mayor o igual a cero.
Encontrar el rango puede ser más complejo, pero a menudo se puede deducir analizando qué valores puede tomar la función. Por ejemplo, nunca producirá un número negativo, por lo que su rango son todos los números reales no negativos.
El siguiente recurso te guiará a través de ejemplos concretos de cómo calcular el dominio y el rango para diferentes tipos de funciones y también introducirá la notación de intervalos para describir estos conjuntos.
1.1 Repaso de las funciones - Cálculo volumen 1
Ahora vamos a la práctica. Este texto de OpenStax, 'Repaso de las funciones', proporciona una explicación detallada y ejemplos resueltos paso a paso para encontrar el dominio y el rango de funciones.
Primero, lee la sección bajo el encabezado 'Funciones' para repasar la definición y familiarizarte con la notación f(x). Luego, avanza a la siguiente parte para aprender sobre la 'notación de intervalo' (por ejemplo, [0, ∞) ), que es la forma estándar de escribir dominios y rangos. Finalmente, estudia con mucho cuidado el 'Ejemplo 1.2: Hallar el dominio y el rango'. Este ejemplo es clave, ya que resuelve tres casos típicos: una función con un cuadrado, una con una raíz cuadrada y una con una fracción.
Después de estudiar esos ejemplos, es hora de que intentes resolver uno por tu cuenta.
¡Pon a prueba tu comprensión!
Encuentra el dominio y el rango de la función . Usa la notación de intervalos.
(Pista: Recuerda la regla sobre las raíces cuadradas para encontrar el dominio. Luego, piensa en el valor más pequeño que puede salir de la raíz cuadrada para determinar el rango).
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Dominio:
La expresión dentro de la raíz cuadrada, , no puede ser negativa. Por lo tanto, debemos tener:
En notación de intervalos, el dominio es .
Rango:
La función raíz cuadrada, , por definición devuelve siempre un resultado no negativo. El valor más pequeño que puede tomar ocurre cuando la expresión interior es cero (cuando ), que es . A medida que aumenta, el valor de la raíz también aumenta sin límite.
Por lo tanto, el rango es el conjunto de todos los números reales no negativos. En notación de intervalos, es .
Conclusión
¡Felicidades por completar esta lección fundamental! Has dado un gran paso para construir el andamiaje matemático que necesitas.
Puntos Clave de Hoy:
- Una función es una regla que asigna a cada entrada (variable independiente) exactamente una salida (variable dependiente).
- El dominio es el conjunto de todas las entradas válidas para una función.
- El rango (o imagen) es el conjunto de todas las salidas que la función produce realmente.
- Para encontrar el dominio de una función algebraica, principalmente debes evitar la división por cero y las raíces pares de números negativos.
En la Próxima Lección:
Ahora que entendemos qué son las funciones, su dominio y su rango, empezaremos a estudiar familias específicas de funciones que son vitales en finanzas. Comenzaremos con las más básicas pero increíblemente útiles: las funciones lineales y cuadráticas. Aprenderás a identificar sus características clave y a representar sus gráficos, habilidades que son la base para modelar tendencias y relaciones simples en los datos financieros. ¡Te espero