Calcul des dimensions de la semelle homothétique

Bonjour,

Dans la leçon précédente, nous avons calculé la surface minimale requise pour notre semelle en nous basant sur les charges de service et la capacité portante effective du sol. Nous avons conclu que la surface de contact, $S$ , doit être d'au moins 4.0 m². C'est une étape fondamentale, mais une surface seule ne définit pas une forme.

Aujourd'hui, nous allons transformer cette surface en dimensions concrètes : une longueur $A$ et une largeur $B$ . Pour ce faire, nous allons appliquer le principe d'homothétie, qui lie la forme de la semelle à celle du poteau qu'elle supporte. À l'issue de cette leçon, nous aurons complété le pré-dimensionnement en plan de la semelle à l'État Limite de Service (ELS).

Le Principe d'une Semelle Homothétique

Lorsque la charge d'un poteau est centrée, la solution la plus rationnelle et économique est de concevoir une semelle qui est "homothétique" au poteau. Cela signifie simplement que le rapport longueur/largeur de la semelle est le même que celui du poteau.

Ces schémas illustrent le concept d'une semelle isolée sous un poteau. Notre objectif est de déterminer les dimensions en plan (A et B) de la base de la semelle pour qu'elle soit homothétique au poteau rectangulaire qu'elle soutient.

Cette approche garantit une répartition uniforme des contraintes du sol sous la semelle, optimisant ainsi son fonctionnement structurel. La condition mathématique est la suivante :

\frac{A}{B} = \frac{a}{b}

où :

$A$ et $B$ sont les dimensions de la semelle (avec $A > B$ ).
$a$ et $b$ sont les dimensions du poteau (avec $a > b$ ).

Les documents suivants expliquent et appliquent ce principe, qui est au cœur du dimensionnement des semelles rectangulaires.

[PDF] Chapitre 4 Fondations superficielles - Home | ops.univ-batna2.dz

Ce document du cours de l'Université de Batna 2 détaille le calcul des fondations. Il contient une section très claire sur le principe d'homothétie.

Veuillez trouver la section 6.9 Semelles rectangulaires sous poteau soumises à une charge centrée. Lisez l'introduction à ce paragraphe, qui pose la relation d'homothétie. Notez que la formule qui suit utilise P_u (charge à l'ELU), mais le principe reste identique pour notre calcul à l'ELS avec P_{ser} et \sigma'_{adm}.

Calcul des Dimensions A et B

Nous disposons maintenant d'un système de deux équations pour trouver nos deux inconnues, $A$ et $B$ :

Condition de surface (de la leçon précédente) :
$A \times B \geq 4.0 m^{2}$
Condition d'homothétie :
$\frac{A}{B} = \frac{a}{b}$

Données de l'exercice :

Dimensions du poteau : $a = 0.60 m$ , $b = 0.40 m$ .
Surface requise : $S_{r e q} = 4.0 m^{2}$ .

Étape 1 : Calculer le rapport d'homothétie

Le rapport des dimensions du poteau est :

\frac{a}{b} = \frac{0.60}{0.40} = 1.5

Donc, notre condition d'homothétie devient :

\frac{A}{B} = 1.5 ⟹ A = 1.5 \times B

Étape 2 : Résoudre le système d'équations

Nous substituons l'expression de $A$ dans l'équation de la surface, en prenant l'égalité pour le dimensionnement minimal :

(1.5 \times B) \times B = 4.0

1.5 \times B^{2} = 4.0

B^{2} = \frac{4.0}{1.5} \approx 2.667 m^{2}

En prenant la racine carrée, on obtient la largeur $B$ :

B = 2.667 \approx 1.633 m

Maintenant, nous pouvons calculer la longueur $A$ :

A = 1.5 \times B = 1.5 \times 1.633 \approx 2.45 m

Ce calcul est formalisé dans le document suivant, qui vous servira de référence pour la méthode.

[PDF] LES FONDATIONS - DSpace UMMTO

Ce cours de l'Université de Tizi-Ouzou présente les formules de dimensionnement de manière très directe.

Dans la section 6.2.1-Semelle rectangulaire sous poteau rectangulaire, observez comment les dimensions A et B sont dérivées. Les formules présentées combinent les deux équations (surface et homothétie) en une seule pour trouver B, puis A. C'est exactement la démarche que nous venons de suivre.

Étape 3 : Adopter des dimensions constructives

En pratique, sur un chantier, on utilise des dimensions faciles à mesurer et à coffrer. On arrondit donc les valeurs calculées, généralement au 5 cm supérieur.

$B = 1.633 m \to$ nous adoptons $B = 1.65 m$
$A = 2.45 m \to$ nous adoptons $A = 2.45 m$ (la valeur est déjà un multiple de 5 cm)

Étape 4 : Vérification finale

Vérifions que la surface finale de notre semelle respecte bien la condition initiale.

S_{f ina l e} = A \times B = 2.45 m \times 1.65 m = 4.0425 m^{2}

La condition $S_{f ina l e} \geq S_{r e q}$ est bien respectée ( $4.0425 m^{2} \geq 4.0 m^{2}$ ).

Les dimensions en plan de notre semelle à l'ELS sont donc $A = 2.45 m$ et $B = 1.65 m$ .

Conclusion

Cette leçon conclut le premier module de notre exercice, consacré au pré-dimensionnement à l'ELS. Nous avons transformé une exigence de surface en dimensions géométriques concrètes et pratiques.

Les points clés à retenir sont :

Le principe de l'homothétie ( $A / B = a / b$ ) est utilisé pour déterminer la forme d'une semelle sous charge centrée.
En combinant la condition d'homothétie avec la condition de surface ( $A \times B \geq S_{r e q}$ ), nous formons un système de deux équations à deux inconnues.
La résolution de ce système, suivie d'un arrondissement à des valeurs constructives, nous a donné les dimensions finales en plan de la semelle : 2.45 m x 1.65 m.

Maintenant que nous avons défini la semelle en plan (ses dimensions A et B), la prochaine étape logique est de déterminer son épaisseur. Dans la prochaine leçon, nous entrerons dans le Module 2 et nous calculerons la hauteur utile ( $d$ ) et la hauteur totale ( $h$ ) de la semelle, en nous assurant qu'elle soit suffisamment rigide et résistante au poinçonnement.

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Conclusion