Lagrange Teoremi ve Uygulamaları

Lagrange Teoremi'nin İspatına Giden Yol

Önceki dersten biliyoruz ki, bir $G$ grubu, bir $H\le G$ altgrubunun sol kosetlerinin ayrık birleşimi olarak yazılabilir:
$G=g_{1}H\cup g_{2}H\cup \cdots \cup g_{k}H$
Burada $g_{1}H,\dots ,g_{k}H$ birbirinden farklı tüm sol kosetlerdir ve bu birleşim ayrık (disjoint) bir birleşimdir.

Bu denklemin her iki tarafının da "büyüklüğünü" (eleman sayısını) alırsak, grubun mertebesi hakkında bir şeyler söyleyebiliriz. Kümeler ayrık olduğu için, birleşimin eleman sayısı, her bir kümenin eleman sayılarının toplamına eşittir:
$|G|=|g_{1}H|+|g_{2}H|+\cdots +|g_{k}H|$

Bu formülün kullanışlı olması için tüm kosetlerin aynı boyutta olduğunu göstermemiz gerekir. Sezgisel olarak bu doğru görünüyor; ne de olsa bir koset, altgrubun sadece "kaydırılmış" bir versiyonudur. Şimdi bu sezgiyi kesinleştirelim. Bir $gH$ koseti ile $H$ altgrubunun kendisi arasında birebir bir eşleme (bijection) kurarak, eleman sayılarının eşit olduğunu kanıtlayabiliriz.

Artık ispat için tüm parçalara sahibiz:

1. $G$ grubu, birbirinden farklı $k$ tane sol kosetin ayrık birleşimidir.
2. Her sol kosetin eleman sayısı, $|H|$ altgrubunun eleman sayısına eşittir.

Bu iki gerçeği birleştirdiğimizde, Lagrange Teoremi'nin ispatı doğrudan ortaya çıkar. Bu noktada, kosetlerin sayısını belirten $k$ için özel bir isim ve notasyon tanımlamak faydalı olacaktır.

Tanım: İndeks (Index)
Bir $H$ altgrubunun bir $G$ grubu içindeki indeksi, $G$'deki farklı sol kosetlerin sayısıdır ve $[G:H]$ ile gösterilir. Yani, yukarıdaki denklemdeki $k$ sayısı, indekstir: $k=[G:H]$.

Artık teoremi en genel haliyle ifade edip kanıtlayabiliriz.

Lagrange Teoremi ve İspatı

Teorem (Lagrange): Eğer $G$ sonlu bir grup ve $H$ onun bir altgrubu ise, $H$'nin mertebesi $G$'nin mertebesini böler. Daha kesin olarak,
$|G|=[G:H]\cdot |H|$

İspat:
Yukarıda tartıştığımız gibi, $G$ grubu, $H$'nin sol kosetlerine ayrışır. Farklı sol kosetlerin sayısına $[G:H]$ diyelim.
$G=g_{1}H\cup g_{2}H\cup \cdots \cup g_{[G:H]}H$
Bu birleşim ayrık olduğu için, $G$'nin mertebesi, bu kosetlerin mertebelerinin toplamıdır:
$|G|={\sum }_{i=1}^{[G:H]}|g_{i}H|$
Theorem 5.9'dan her $i$ için $|g_{i}H|=|H|$ olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla, bu toplamda $[G:H]$ tane $|H|$ terimi vardır:
$|G|={\sum }_{i=1}^{[G:H]}|H|=[G:H]\cdot |H|$
Bu denklem, $|H|$ ve $[G:H]$ tam sayılar olduğu için, $|H|$'nin $|G|$'yi böldüğünü kanıtlar.

Aşağıdaki görsel, bu ispatın arkasındaki fikri somut bir örnekle özetlemektedir. $G={\mathbb{Z}}_8$ (mertebesi 8) ve $H=\{0,4\}$ (mertebesi 2) alalım. Kosetler $H,1+H,2+H,3+H$ olmak üzere 4 tanedir. Her kosetin 2 elemanı vardır. Toplamda $4\times 2=8$ eleman elde edilir.

Bu zarif ispatı daha formal bir sunumla pekiştirmek için aşağıdaki videoyu izleyebilirsiniz.

Lagrange Teoremi'nin Güçlü Sonuçları

Lagrange Teoremi sadece estetik bir sonuç değildir; sonlu grupların olası yapıları hakkında son derece güçlü bilgiler verir.

1. Olası Alt Grup Mertebeleri:
   Bir grubun alt gruplarını ararken, artık sadece grup mertebesinin bölenlerini kontrol etmemiz yeterlidir. Örneğin, mertebesi 6 olan $S_3$ simetrik grubunu düşünelim. Olası alt grup mertebeleri sadece 6'nın bölenleri olabilir: 1, 2, 3, 6. Mertebesi 4 veya 5 olan bir alt grup aramamıza gerek yoktur, çünkü Lagrange Teoremi'ne göre böyle bir alt grup var olamaz.

2. Bir Elemanın Mertebesi Grup Mertebesini Böler:
   Bu, teoremin en önemli sonuçlarından biridir. $G$ sonlu bir grup ve $g\in G$ olsun. $g$'nin ürettiği devirli altgrup $H=⟨g⟩$'ı düşünelim. Bu altgrubun mertebesi $|H|$, tanım gereği $g$ elemanının mertebesine eşittir, $o(g)$. Lagrange Teoremi'ne göre $|H|$ sayısı $|G|$'yi bölmek zorundadır. Dolayısıyla, $o(g)$ de $|G|$'yi böler.

   Bu önemli sonucun ispatını aşağıdaki videodan takip edebilirsiniz.

3. Asal Mertebeli Gruplar Devirlidir:
   Mertebesi $p$ olan bir grup düşünelim, burada $p$ bir asal sayıdır. Gruptan birim eleman dışında bir eleman $g$ alalım. $g$'nin mertebesi $o(g)$, grup mertebesi olan $p$'yi bölmek zorundadır. $p$ asal olduğu için bölenleri sadece 1 ve $p$'dir. $g$ birim eleman olmadığı için mertebesi 1 olamaz. O halde $o(g)=p$ olmalıdır. Bu, $g$'nin ürettiği devirli altgrup $⟨g⟩$'ın mertebesinin $p$ olduğu anlamına gelir. Grubun kendisi de $p$ elemanlı olduğuna göre, $⟨g⟩=G$ olmalıdır. Yani, grup devirlidir ve birim olmayan herhangi bir elemanı tarafından üretilir.

Bir Uyarı: Teoremin Tersi Doğru Değildir

Lagrange Teoremi, bir altgrubun mertebesinin grup mertebesini bölmesi gerektiğini söyler. Peki, tersi doğru mudur? Yani, $|G|$'nin herhangi bir böleni $d$ için, $G$'nin mertebesi $d$ olan bir altgrubu her zaman var mıdır?

Cevap hayır'dır.

Lagrange Teoremi'nin tersi genel olarak doğru değildir. Bunun en ünlü karşı örneği, mertebesi 12 olan alterne grup $A_4$'tür. Sayı olarak 6, 12'yi bölmesine rağmen, $A_4$'ün mertebesi 6 olan hiçbir altgrubu yoktur. Bu gerçeğin ispatı biraz daha uzun ve bir sonraki modülde göreceğimiz normal altgruplar kavramını kullanır, bu yüzden şimdilik detaya girmeyeceğiz. Ancak bu önemli sınırlamayı bilmek kritiktir.

Özet ve Sonraki Adımlar

Bu dersle birlikte ilk modülümüzü tamamladık. İşte kilit çıkarımlar:

• Lagrange Teoremi: Sonlu bir $G$ grubu ve $H\le G$ altgrubu için, $|G|=[G:H]\cdot |H|$'dir.
• Sonuç 1: Bir altgrubun mertebesi, grubun mertebesini böler.
• Sonuç 2: Bir elemanın mertebesi, grubun mertebesini böler. Buradan $g^{|G|}=e$ elde edilir.
• Sonuç 3: Asal mertebeli her grup devirlidir.
• Uyarı: Teoremin tersi doğru değildir; $|G|$'nin bir böleni olan mertebede bir altgrup var olmak zorunda değildir.

Bu derste öğrendiğimiz fikirler, özellikle mertebe, indeks ve kosetlere ayrışım kavramları, bir sonraki modülümüz olan "Grup Etkileri ve Yörünge-Dengeleyici Teoremi" için temel oluşturacaktır. Aslında, bir sonraki ana hedefimiz olan Yörünge-Dengeleyici Teoremi'ni, Lagrange Teoremi'nin grup etkileri dünyasındaki bir genellemesi olarak düşünebilirsiniz. Orada, bir kümenin "yörüngelere" ayrışmasının, bir grubun "kosetlere" ayrışmasına çok benzediğini göreceğiz ve bu iki güçlü fikir arasında derin bir bağlantı kuracağız.