Valeurs propres et équation caractéristique

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Bonjour ! Dans la leçon précédente, nous avons franchi la première étape vers la diagonalisation en apprenant à construire le polynôme caractéristique $P_{A} (λ)$ d'une matrice. Vous savez maintenant comment, à partir d'une matrice $A$ , obtenir ce polynôme en calculant $det (A - λ I)$ .

Aujourd'hui, nous allons mettre ce travail à profit. L'objectif est de trouver les valeurs propres d'une matrice en résolvant l'équation caractéristique. Ces valeurs propres sont des scalaires spéciaux qui capturent l'essence de la transformation linéaire représentée par la matrice. Elles sont la clé qui nous ouvrira la porte des vecteurs propres et, à terme, de la diagonalisation.

1. L'équation caractéristique

Comme nous l'avons évoqué, les valeurs propres d'une matrice $A$ sont les racines de son polynôme caractéristique. En d'autres termes, ce sont les valeurs de $λ$ qui satisfont l'équation caractéristique :

P_{A} (λ) = det (A - λ I) = 0

Trouver les valeurs propres revient donc à résoudre cette équation. Le document suivant formalise ce lien fondamental.

Valeurs propres - Vecteurs propres - Diagonalisation d'une matrice carrée [Calcul matriciel]

Cette ressource de l'UNISCIEL pose clairement la définition de l'équation caractéristique et son rôle dans la détermination des valeurs propres.

Lisez la section d'introduction jusqu'à l'exemple. Concentrez-vous sur la phrase qui explique pourquoi on s'intéresse aux solutions de cette équation : un système homogène admet des solutions non triviales si et seulement si le déterminant de sa matrice est nul. C'est le point de départ de tout le calcul.

2. Cas d'une matrice 2x2

Pour une matrice 2x2, le polynôme caractéristique est du second degré. Trouver les valeurs propres revient donc à résoudre une équation quadratique de la forme $a λ^{2} + bλ + c = 0$ , une procédure que vous connaissez bien et qui implique souvent le calcul du discriminant $Δ = b^{2} - 4 a c$ .

La vidéo suivante vous guide à travers un exemple complet, de la mise en place de l'équation jusqu'à sa résolution.

Justification du calcul des valeurs propres pour une matrice 2x2

Cette vidéo de Khan Academy Francophone illustre parfaitement la méthode pour une matrice 2x2.

Regardez la démonstration de cet exemple. L'animateur part de la matrice A, construit l'équation \det(\lambda I - A) = 0, développe le calcul pour obtenir le polynôme caractéristique, puis le factorise pour trouver les deux valeurs propres. Notez que l'utilisation de \det(\lambda I - A) ou \det(A - \lambda I) aboutit aux mêmes valeurs propres.

Pour renforcer cette méthode, étudions un autre exemple concret.

Valeurs propres - Vecteurs propres - Diagonalisation d'une matrice carrée [Calcul matriciel]

Cet exemple écrit de l'UNISCIEL est un complément parfait à la vidéo.

Analysez l'exemple de calcul pour la matrice A = \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 6 & -4 \end{pmatrix}. Suivez le développement du déterminant qui mène à l'équation \lambda^2 - \lambda - 2 = 0 et sa factorisation en (\lambda+1)(\lambda-2)=0, donnant les valeurs propres \lambda_1 = -1 et \lambda_2 = 2.

Il est à noter que les solutions d'une équation du second degré peuvent parfois être des nombres complexes. Bien que nous nous concentrions sur les cas réels, qui sont les plus courants en génie civil, il est bon de savoir que des valeurs propres complexes peuvent exister.

3. Cas d'une matrice 3x3

Pour une matrice 3x3, l'équation caractéristique est un polynôme de degré 3. Sa résolution est plus complexe mais suit une stratégie claire, surtout dans les cas pratiques que l'on rencontre en exercice.

Stratégie de résolution :

Utiliser la forme factorisée : Dans la leçon précédente, nous avons vu qu'il est souvent judicieux de garder le polynôme sous une forme factorisée lors du calcul du déterminant. C'est la situation idéale.
Par exemple, pour la matrice $A = 30 - 1 242 - 1 03$ , nous avions trouvé $P_{A} (λ) = (4 - λ)^{2} (2 - λ)$ .
L'équation caractéristique est donc $(4 - λ)^{2} (2 - λ) = 0$ . Les solutions sont immédiates :
- $λ = 2$ (racine simple)
- $λ = 4$ (racine double)
  On dit que la valeur propre 4 a une multiplicité algébrique de 2.
Trouver une racine évidente : Si le polynôme est entièrement développé (par exemple, $λ^{3} - 8 λ^{2} + 20 λ - 16 = 0$ ), la première étape est de tester des racines simples : 0, 1, -1, 2, -2.
- Si une racine $λ_{1}$ est trouvée, on peut factoriser le polynôme par $(λ - λ_{1})$ .
- On se retrouve alors avec un produit d'un terme du premier degré et d'un terme du second degré, que l'on sait résoudre.

La vidéo suivante détaille magnifiquement un cas complet pour une matrice 3x3.

VALEURS PROPRES ET VECTEURS PROPRES II

Cette vidéo de "MATHÉMATIQUES POUR TOUS" est un guide pratique très détaillé pour trouver les valeurs propres d'une matrice 3x3.

Suivez attentivement ces deux étapes cruciales : D'abord, la phase de calcul, où l'auteur calcule le déterminant de A - \lambda I et, par une factorisation astucieuse, obtient le polynôme caractéristique sous la forme (1-\lambda)(\lambda^2 - \lambda - 6). Ensuite, la phase de résolution, où il pose l'équation égale à zéro. Il en déduit immédiatement une première valeur propre \lambda = 1, puis résout l'équation du second degré \lambda^2 - \lambda - 6 = 0 pour trouver les deux autres.

4. Exercice d'application

Mettons cela en pratique. Soit la matrice :

A = 001 6 - 2 3 - 2 0 - 3

Votre objectif est de trouver ses valeurs propres.

Calculez le polynôme caractéristique $P_{A} (λ) = det (A - λ I)$ .
Indice : Développez le déterminant par rapport à une ligne ou une colonne qui simplifie le calcul. La deuxième ligne semble un excellent choix.
$det (A - λ I) = det - λ 01 6 - 2 - λ 3 - 2 0 - 3 - λ$
Vous devriez arriver au polynôme $P_{A} (λ) = - (λ + 2)^{2} (λ + 1)$ . C'est un excellent exercice pour revoir la méthode de la leçon précédente.
Résolvez l'équation caractéristique $P_{A} (λ) = 0$ .
Puisque le polynôme est déjà factorisé, la solution est directe. Quelles sont les valeurs propres et quelle est leur multiplicité ?

Solution :
L'équation caractéristique est $- (λ + 2)^{2} (λ + 1) = 0$ .
Les solutions sont :

$λ_{1} = - 1$ (multiplicité 1)
$λ_{2} = - 2$ (multiplicité 2)

Conclusion

Félicitations ! Vous savez maintenant comment franchir la deuxième étape cruciale de la diagonalisation. En partant d'une matrice, vous pouvez trouver ses valeurs propres, ces nombres qui en décrivent les propriétés intrinsèques.

Les points clés à retenir sont :

Les valeurs propres $λ$ d'une matrice $A$ sont les solutions de l'équation caractéristique $det (A - λ I) = 0$ .
Pour une matrice 2x2, cela revient à résoudre une équation du second degré.
Pour une matrice 3x3, cela revient à résoudre une équation du troisième degré. La stratégie consiste à trouver une racine évidente pour factoriser le polynôme ou, idéalement, à obtenir une forme déjà factorisée lors du calcul du déterminant.
Une valeur propre peut apparaître plusieurs fois ; on parle alors de sa multiplicité.

Maintenant que nous avons les valeurs propres, que faisons-nous ? Pour chaque valeur propre $λ$ trouvée, il existe un ensemble de vecteurs associés, les vecteurs propres. Dans la prochaine leçon, nous apprendrons à les trouver en résolvant, pour chaque $λ$ , le système d'équations $(A - λ I) X = 0$ .