Multiplication de matrices (2x2 et 3x3)

Bonjour ! Dans la leçon précédente, nous avons défini ce que sont les matrices et avons appris à reconnaître des types importants comme les matrices carrées et les matrices identité. Nous allons maintenant passer de la description à l'action.

Cette leçon est consacrée à l'une des opérations les plus fondamentales de l'algèbre linéaire : la multiplication de matrices. Votre objectif est de savoir multiplier des matrices de dimensions compatibles, en particulier les formats 2x2 et 3x3 que vous rencontrerez constamment. Cette compétence est un prérequis indispensable pour la quasi-totalité des méthodes de résolution de systèmes d'équations que nous aborderons. Vous découvrirez que la multiplication matricielle possède des règles qui lui sont propres, et qui diffèrent de celles de la multiplication des nombres que vous connaissez.

1. Condition de compatibilité : quand peut-on multiplier ?

Contrairement à l'addition, on ne peut pas multiplier n'importe quelles matrices entre elles. Il existe une règle stricte, appelée condition de compatibilité.

La règle est la suivante : pour pouvoir calculer le produit $A\times B$, le nombre de colonnes de la première matrice (A) doit être égal au nombre de lignes de la seconde matrice (B).

Si la matrice $A$ a pour dimensions $m\times n$ (m lignes, n colonnes) et la matrice $B$ a pour dimensions $p\times q$ (p lignes, q colonnes), le produit $A\times B$ n'est possible que si $n=p$. La matrice résultante, notée $C$, aura alors pour dimensions $m\times q$.

La vidéo suivante explique très clairement cette condition.

Par exemple :

• Si $A$ est une matrice $3\times 2$ et $B$ est une matrice $2\times 4$, le produit $A\times B$ est possible car le nombre de colonnes de $A$ (2) est égal au nombre de lignes de $B$ (2). Le résultat sera une matrice de taille $3\times 4$.
• En revanche, le produit $B\times A$ est impossible, car le nombre de colonnes de $B$ (4) n'est pas égal au nombre de lignes de $A$ (3).

2. Le mécanisme de la multiplication : "ligne par colonne"

Maintenant que nous savons quand la multiplication est possible, voyons comment l'effectuer. La méthode de calcul peut se résumer par l'expression "ligne par colonne".

Pour trouver le coefficient situé à la $i$-ème ligne et $j$-ème colonne de la matrice résultat, on prend la $i$-ème ligne de la première matrice et la $j$-ème colonne de la seconde matrice. Ensuite, on multiplie les éléments terme à terme, puis on additionne tous ces produits.

La vidéo suivante, de l'excellent vulgarisateur Yvan Monka, détaille ce processus pour des matrices 2x2 de manière très gestuelle et intuitive.

Pour illustrer, reprenons l'exemple de l'image ci-dessous :

Pour calculer le coefficient en haut à gauche de la matrice résultat (première ligne, première colonne), on utilise la première ligne de la première matrice $\left(\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right)$ et la première colonne de la seconde $\left(\begin{array}{c}5\\ 7\end{array}\right)$.

Le calcul est : $(1\times 5)+(2\times 7)=5+14=19$.

On répète ce processus pour chaque coefficient de la matrice résultat :

• Coefficient (1,2) (1ère ligne, 2ème colonne) : $(1\times 6)+(2\times 8)=6+16=22$
• Coefficient (2,1) (2ème ligne, 1ère colonne) : $(3\times 5)+(4\times 7)=15+28=43$
• Coefficient (2,2) (2ème ligne, 2ème colonne) : $(3\times 6)+(4\times 8)=18+32=50$

3. Une propriété cruciale : la non-commutativité

Avec les nombres réels, on sait que $4\times 5=5\times 4$. On dit que la multiplication est commutative. En algèbre matricielle, ce n'est généralement pas le cas.

En général, $A\times B\ne B\times A$.

L'ordre de la multiplication est donc primordial. Visionnez la fin de la vidéo précédente pour voir une démonstration de ce fait.

Cette propriété de non-commutativité est l'une des différences les plus importantes entre l'algèbre des nombres réels et l'algèbre des matrices.

4. Généralisation aux matrices 3x3

Le principe de la multiplication reste exactement le même pour des matrices plus grandes, comme les 3x3. La seule différence est qu'il y a plus de calculs à effectuer.

L'image suivante montre la formule générale pour le produit de deux matrices 3x3. Ne soyez pas intimidé par la formule ; elle ne fait que répéter la méthode "ligne par colonne" neuf fois.

Pour vous aider à organiser vos calculs et éviter les erreurs, je vous propose de lire un document qui décompose très bien le processus.

La méthode reste la même : pour calculer le coefficient $c_{ij}$ (ligne $i$, colonne $j$) de la matrice produit, vous prenez la ligne $i$ de la première matrice et la colonne $j$ de la seconde, vous multipliez les termes correspondants, et vous additionnez les résultats.

Conclusion

Dans cette leçon, nous avons abordé une opération centrale en algèbre linéaire. Voici les points essentiels à retenir :

• Condition de compatibilité : Le produit de matrices $A\times B$ n'est possible que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B.
• Méthode de calcul : Chaque élément de la matrice résultat est obtenu par le produit "ligne par colonne".
• Non-commutativité : L'ordre des matrices dans une multiplication est crucial. En général, $A\times B\ne B\times A$.

Vous êtes maintenant équipé de l'outil principal pour manipuler les représentations matricielles des systèmes d'équations.

Dans la prochaine leçon, nous nous intéresserons à une autre notion clé pour les matrices carrées : le déterminant. C'est un nombre unique calculé à partir d'une matrice qui nous révélera des informations cruciales sur celle-ci, notamment si elle est "inversible", une étape indispensable pour résoudre des systèmes de la forme $AX=B$.