Moment fléchissant : Poutre sur appuis, charge ponctuelle centrée

1. Calcul des réactions d'appuis

La première étape de toute analyse de poutre est de s'assurer qu'elle est en équilibre statique. Cela signifie que nous devons calculer les forces de réaction aux appuis. Considérons une poutre de longueur L avec une charge ponctuelle P à mi-portée (x=L/2). Les appuis sont en A (x=0) et B (x=L).

En raison de la symétrie parfaite du problème (géométrie et chargement), les réactions verticales aux deux appuis, $R_A$ et $R_B$, se répartissent équitablement la charge P.

C'est une conclusion rapide permise par la symétrie. Autrement, nous l'aurions trouvée en appliquant les équations de la statique (somme des forces verticales nulle et somme des moments par rapport à un point nulle).

2. Expression du Moment Fléchissant M(x)

Maintenant, pour trouver l'expression de M(x), nous utilisons la méthode des sections. Nous effectuons une "coupe" imaginaire dans la poutre à une distance x de l'appui de gauche A.

Comme nous l'avons vu dans la leçon précédente, la symétrie du problème nous permet de simplifier notre analyse en n'étudiant que la première moitié de la poutre, c'est-à-dire l'intervalle où $0\le x\le L/2$.

Faisons une coupe à un point x dans cet intervalle et isolons le tronçon de gauche. Pour que ce tronçon soit en équilibre, un effort tranchant V(x) et un moment fléchissant M(x) doivent apparaître au niveau de la coupe.

Le moment fléchissant M(x) est calculé en faisant la somme des moments de toutes les forces externes à gauche de la coupe, par rapport au point de coupe.

La seule force externe à gauche de notre coupe est la réaction d'appui $R_A=P/2$. Son bras de levier par rapport à la coupe est x. Par convention, une force qui tend à faire "fléchir" la poutre vers le bas (créant une "bouche souriante") produit un moment positif. La réaction $R_A$ qui pousse vers le haut tend à produire cette forme.

Ainsi, la somme des moments au point de coupe nous donne :

En remplaçant $R_A$ par sa valeur, nous obtenons l'expression du moment fléchissant pour la première moitié de la poutre :

Cette équation linéaire montre que le moment fléchissant part de 0 à l'appui (x=0) et augmente linéairement jusqu'à atteindre sa valeur maximale au centre de la poutre (x=L/2), où $M(L/2)=\frac{P}{2}\cdot \frac{L}{2}=\frac{PL}{4}$.

Le diagramme du moment (en rouge sur la figure Diagramme de corps libre d'une poutre avec charge centrée) confirme visuellement cette relation : c'est une droite croissante sur la première moitié de la poutre.

Pour valider cette approche, vous pouvez consulter un document de RDM qui formalise ce calcul.

Conclusion

Nous avons franchi une étape décisive. Nous avons établi l'équation qui décrit le moment fléchissant sur la moitié de la poutre, qui est la seule section que nous aurons à étudier grâce à la symétrie.

• À retenir : Pour une poutre sur appuis simples de longueur L avec une charge P au centre, le moment fléchissant dans la première moitié de la poutre (pour $0\le x\le L/2$) est donné par : $M(x)=\frac{P}{2}x$.

Nous disposons maintenant de tous les éléments nécessaires. Dans la leçon finale, qui constituera le cœur de notre objectif, nous allons :

1. Injecter cette expression de M(x) dans l'équation de la déformée : $EI{y}^{\prime \prime }=\frac{P}{2}x$.
2. Intégrer deux fois cette équation pour obtenir la pente y'(x) et la flèche y(x).
3. Utiliser les conditions aux limites (y(0)=0 et y'(L/2)=0) pour trouver les constantes d'intégration.
4. Enfin, calculer la flèche maximale au centre de la poutre.