Espaces Probabilistes Discrets et Calcul de Probabilités Simples

1. De l'intuition à la formalisation

Nous avons tous une compréhension intuitive des probabilités, souvent liée à la fréquence d'apparition d'un phénomène. Cependant, pour construire un édifice mathématique solide, cette intuition doit être formalisée.

Pour formaliser, nous devons d'abord définir un vocabulaire précis. Toute expérience dont le résultat n'est pas connu à l'avance est une expérience aléatoire.

• L'univers (Ω) : C'est l'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire. Par exemple, pour un lancer de dé à 6 faces, $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$.
• Un événement élémentaire : C'est un résultat unique de l'expérience, c'est-à-dire un singleton de $\Omega$. Par exemple, obtenir un 3, ce qui correspond à l'ensemble $\{3\}$.
• Un événement : C'est un sous-ensemble de $\Omega$. Il correspond à un ensemble de résultats possibles. Par exemple, l'événement "obtenir un nombre pair" est l'ensemble $A=\{2,4,6\}$. Un événement est réalisé si le résultat de l'expérience est un élément de cet ensemble.

2. Définition axiomatique d'un espace probabilisé

L'étape cruciale, initiée par Andreï Kolmogorov en 1933, consiste à définir une probabilité non pas par une formule, mais par les propriétés qu'elle doit satisfaire.

Dans un univers fini $\Omega$, une probabilité (ou mesure de probabilité) est une fonction $P$ qui associe à chaque événement $A\subseteq \Omega$ un nombre réel, et qui respecte trois axiomes :

1. Positivité : Pour tout événement $A$, $P(A)\ge 0$.
2. Normalisation : La probabilité de l'univers est 1, i.e., $P(\Omega )=1$. (Un des résultats possibles doit se produire).
3. Additivité (finie) : Si $A$ et $B$ sont deux événements disjoints (i.e., $A\cap B=\varnothing$), alors $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.

Le triplet $(\Omega ,\mathcal{P}(\Omega ),P)$, où $\mathcal{P}(\Omega )$ est l'ensemble de tous les événements possibles (l'ensemble des parties de $\Omega$), est appelé un espace probabilisé fini.

Essentiellement, une probabilité est une manière de distribuer une "masse" totale de 1 sur les différents événements élémentaires de l'univers. La probabilité d'un événement quelconque est alors la somme des masses des événements élémentaires qui le composent.

De ces axiomes découlent toutes les propriétés usuelles des probabilités :

• $P(\varnothing )=0$
• Si $A\subseteq B$, alors $P(A)\le P(B)$
• Pour tout événement $A$, $P(A)\le 1$
• $P(\bar{A})=1-P(A)$, où $\bar{A}$ est l'événement complémentaire.
• $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ (Formule de Poincaré pour deux événements)

3. Le cas d'équiprobabilité : le pont vers le dénombrement

Un cas particulier, mais extrêmement fréquent dans les exercices et la modélisation de base, est celui de l'équiprobabilité. On est dans cette situation lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité de se produire.

Si l'univers $\Omega$ est fini, de cardinal $|\Omega |=n$, et si l'on est en situation d'équiprobabilité, alors pour tout événement élémentaire $\{{\omega }_i\}$ :
$P(\{{\omega }_i\})=\frac{1}{n}$
Grâce à l'axiome d'additivité, la probabilité d'un événement $A$ quelconque, composé de $|A|=k$ événements élémentaires, devient :
$P(A)={\sum }_{{\omega }_i\in A}P(\{{\omega }_i\})={\sum }_{i=1}^k\frac{1}{n}=k\cdot \frac{1}{n}=\frac{|A|}{|\Omega |}$

On retrouve la fameuse formule, souvent enseignée au lycée :
$P(A)=\frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$

Il est crucial de comprendre que cette formule n'est valide que sous l'hypothèse d'équiprobabilité. L'un des enjeux majeurs des problèmes de probabilités est d'identifier si cette hypothèse est justifiée.

Exemple d'application : On lance deux dés équilibrés. Quelle est la probabilité que la somme des faces soit égale à 7 ?

1. Définir l'univers $\Omega$ : Chaque résultat est un couple $(d_1,d_2)$, où $d_1$ et $d_2$ sont les valeurs des deux dés. $\Omega =\{1,...,6\}\times \{1,...,6\}$. Le nombre de cas possibles est $|\Omega |=6\times 6=36$. Les dés étant équilibrés, on peut supposer l'équiprobabilité.
2. Définir l'événement $A$ : L'événement "la somme est 7" correspond au sous-ensemble $A=\{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\}$.
3. Calculer le nombre de cas favorables : Le cardinal de A est $|A|=6$.
4. Calculer la probabilité : $P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.

4. Application et simulation en Python

En informatique, on modélise souvent les résultats d'une expérience aléatoire à l'aide d'une variable aléatoire discrète. Définir la probabilité d'un événement simple revient à déterminer la loi de probabilité de cette variable, c'est-à-dire l'ensemble des couples (valeur, probabilité de la valeur).

La simulation est un excellent moyen de vérifier son intuition et de mettre en pratique les concepts théoriques.

Exercice pratique :

Considérons une variable aléatoire $X$ dont la loi est donnée par :

• $X(\Omega )=\{-1,0,1\}$
• $P(X=-1)=1/4$
• $P(X=0)=1/2$
• $P(X=1)=1/4$

Écrivez une fonction simul_X() en Python qui renvoie une simulation de cette variable $X$.
(Indice : la fonction random.random() de la bibliothèque random renvoie un flottant dans [0.0, 1.0) selon une loi uniforme. Comment pouvez-vous "découper" cet intervalle pour qu'il corresponde aux probabilités de X ?)

import random

def simul_X():
    """
    Simule une réalisation de la variable aléatoire X.
    """
    r = random.random()  # r est dans [0.0, 1.0)
    
    if r < 0.25:
        return -1
    elif r < 0.75:  # r est dans [0.25, 0.75)
        return 0
    else:           # r est dans [0.75, 1.0)
        return 1




# Testons la fonction en simulant un grand nombre de fois
# et en vérifiant les fréquences.
N_SIMULATIONS = 100000
results = {-1: 0, 0: 0, 1: 0}
for _ in range(N_SIMULATIONS):
    val = simul_X()
    results[val] += 1

print("Fréquences observées sur", N_SIMULATIONS, "simulations :")
print("f(X=-1):", results[-1] / N_SIMULATIONS, "(théorique: 0.25)")
print("f(X=0):",  results[0] / N_SIMULATIONS,  "(théorique: 0.5)")
print("f(X=1):",  results[1] / N_SIMULATIONS,  "(théorique: 0.25)")

Conclusion

Cette leçon a posé les fondations rigoureuses de la théorie des probabilités sur un univers discret. La démarche intellectuelle, qui consiste à partir d'axiomes pour construire une théorie cohérente, est au cœur de l'esprit de votre préparation.

Points clés à retenir :

• Un espace probabilisé est un triplet $(\Omega ,\mathcal{P}(\Omega ),P)$ où $P$ est une fonction qui satisfait les axiomes de positivité, de normalisation et d'additivité.
• Un événement est un sous-ensemble de l'univers $\Omega$.
• Dans le cas d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement $A$ se calcule par la formule $P(A)=|A|/|\Omega |$.
• Le calcul de probabilités dans ce cadre se ramène souvent à un problème de dénombrement : compter le nombre d'éléments dans $\Omega$ et dans l'événement $A$.

Le dernier point constitue une transition parfaite vers notre prochaine leçon. Pour pouvoir calculer efficacement $|A|$ et $|\Omega |$ dans des situations plus complexes que des lancers de dés, nous devons maîtriser les outils du dénombrement. Nous étudierons donc les principes fondamentaux de la combinatoire, notamment les principes d'addition et de multiplication, ainsi que les arrangements et combinaisons.