Arrangements et Combinaisons : Résolution de Problèmes de Dénombrement

1. La distinction fondamentale : Ordonné vs Non Ordonné

Avant de plonger dans les formules, il est crucial de comprendre le contexte. La plupart des problèmes de dénombrement peuvent se ramener à un modèle de tirage de boules dans une urne. La manière dont on tire ces boules définit le problème.

La vidéo suivante introduit cette idée en distinguant les listes (ordonnées) des sous-ensembles (non ordonnés), et les types de tirages (successif ou simultané, avec ou sans remise) qui y sont associés.

2. Les Arrangements : Quand l'ordre compte

Un arrangement est une sélection d'éléments où l'ordre de sélection est important. Cela correspond aux "listes" évoquées dans la vidéo. Nous distinguons deux cas.

a) Arrangement avec répétition (p-liste)

Ce cas modélise un tirage successif avec remise. Puisque chaque élément tiré est remis dans l'ensemble, il peut être choisi à nouveau.

Imaginons que nous tirons $p$ éléments d'un ensemble de taille $n$. C'est une procédure en $p$ étapes. Grâce au principe multiplicatif de la leçon précédente, le nombre de possibilités est :
$\underset{p\text{ fois}}{\underbrace{n\times n\times \cdots \times n}}=n^p$

On parle de p-liste (ou p-uplet).

b) Arrangement sans répétition

Ce cas modélise un tirage successif sans remise. Une fois qu'un élément est choisi, il ne peut plus l'être.

En tirant $p$ éléments d'un ensemble de taille $n$, nous avons :

• $n$ choix pour le premier élément.
• $n-1$ choix pour le deuxième.
• ...
• $n-p+1$ choix pour le $p$-ième.

Le nombre total de possibilités est le produit : $n\times (n-1)\times \cdots \times (n-p+1)$.
Ceci est noté $A_n^p$ et peut être exprimé à l'aide de factorielles :
$A_n^p=\frac{n!}{(n-p)!}$

Pour ancrer ces définitions dans le formalisme attendu à l'agrégation, je vous invite à lire la section suivante.

3. Les Combinaisons : Quand l'ordre ne compte pas

Une combinaison est une sélection d'éléments où l'ordre de sélection n'a aucune importance. On ne s'intéresse qu'au sous-ensemble final des éléments choisis. Cela correspond à un tirage simultané.

Comment dénombrer ces sélections ? L'idée fondamentale est de les relier aux arrangements.
Pour former un arrangement de $p$ éléments parmi $n$, on peut décomposer l'action en deux étapes :

1. Choisir les $p$ éléments sans se soucier de l'ordre (c'est une combinaison). Notons $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{p}\right)$ le nombre de façons de le faire.
2. Ordonner ces $p$ éléments choisis. Il y a $p!$ façons de le faire (le nombre de permutations de $p$ éléments).

Par le principe multiplicatif, on a donc : $A_n^p=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{p}\right)\times p!$.
En isolant le terme qui nous intéresse, on obtient la formule des combinaisons :
$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{p}\right)=C_n^p=\frac{A_n^p}{p!}=\frac{n!}{p!(n-p)!}$
Le symbole $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{p}\right)$ se lit "p parmi n" et est appelé coefficient binomial.

De même, formalisons cette notion avec notre document de référence.

4. Synthèse et Application : Comment choisir le bon outil ?

La principale difficulté en dénombrement est de choisir le bon modèle. Pour ce faire, posez-vous systématiquement deux questions sur la nature de la sélection :

1. L'ordre est-il important ?
   • Oui $\to$ Arrangement (ou p-liste).
   • Non $\to$ Combinaison.
2. Si l'ordre est important, les répétitions sont-elles permises ?
   • Oui $\to$ p-liste ($n^p$).
   • Non $\to$ Arrangement ($A_n^p$).

Le diagramme suivant résume cette démarche.

Pour vous entraîner à appliquer cette méthode, je vous propose une vidéo qui résout plusieurs exercices en explicitant ce raisonnement.

5. Exercices d'application

Il est temps de mettre en pratique cette démarche de manière autonome. Les exercices suivants sont tirés d'un polycopié de niveau gymnasial suisse, mais ils sont excellents pour tester votre maîtrise des concepts de base.

Conclusion

Cette leçon vous a équipé des outils standards du dénombrement. En partant des principes de somme et de produit, nous avons défini des modèles pour les situations les plus courantes.

Points clés à retenir :

• Arrangement avec répétition (p-liste) : Sélection ordonnée de $p$ éléments parmi $n$ avec remise. Formule : $n^p$.
• Arrangement sans répétition : Sélection ordonnée de $p$ éléments parmi $n$ sans remise. Formule : $A_n^p=\frac{n!}{(n-p)!}$.
• Combinaison : Sélection non ordonnée de $p$ éléments parmi $n$ sans remise. Formule : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{p}\right)=\frac{n!}{p!(n-p)!}$.
• La clé de la résolution est de toujours se poser les bonnes questions : 1. L'ordre importe-t-il ? 2. Les répétitions sont-elles possibles ?

Dans la prochaine leçon, nous nous concentrerons sur les propriétés remarquables des coefficients binomiaux $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{p}\right)$. Cela nous conduira naturellement à la formule du binôme de Newton, un résultat majeur qui lie le dénombrement à l'algèbre.