Valider un raisonnement par les règles d'inférence

1. Qu'est-ce qu'un argument valide ?

Avant de manipuler des règles, il est crucial de distinguer la validité d'un argument de la vérité de ses prémisses. Un argument est une séquence de propositions, les prémisses, menant à une conclusion.

• Un argument est valide si sa structure garantit que si les prémisses sont vraies, alors la conclusion est nécessairement vraie. La validité est une propriété de la forme logique de l'argument, indépendamment du contenu des propositions.
• Un argument est solide (ou sound en anglais) s'il est valide ET si ses prémisses sont effectivement vraies dans le monde réel.

En logique formelle, nous nous concentrons sur la validité. Nous cherchons des schémas de raisonnement irréfutables.

Pour clarifier cette distinction fondamentale, je vous invite à regarder le début de cette vidéo.

2. Les Règles d'Inférence : Modus Ponens et Modus Tollens

Une règle d'inférence est un moule, un patron pour un argument valide. Elle nous autorise à déduire une nouvelle formule à partir d'un ensemble de formules existantes. Nous allons étudier les deux plus célèbres.

2.1. Modus Ponens (Le mode qui affirme)

C'est la règle d'inférence la plus intuitive. Elle formalise le raisonnement "si... alors..." direct.

• Prémisse 1: Si P, alors Q ($P\Rightarrow Q$)
• Prémisse 2: Or, P est vraie ($P$)
• Conclusion: Donc, Q est vraie ($Q$)

En notation formelle, on écrit : $(P\Rightarrow Q),P⊢Q$. Le symbole $⊢$ signifie "prouve" ou "entraîne déductivement".

La vidéo suivante illustre parfaitement cette règle et, surtout, démontre sa validité en utilisant une table de vérité, faisant ainsi le lien avec notre leçon précédente.

La preuve par table de vérité montre que dans le seul cas où les deux prémisses ($P\Rightarrow Q$ et $P$) sont vraies simultanément (la première ligne de la table), la conclusion $Q$ est également vraie. C'est la définition même d'un argument valide.

Dans les systèmes de déduction naturelle, que vous rencontrerez souvent, cette règle est appelée élimination de l'implication (notée $[E\Rightarrow ]$), car elle "consomme" une implication pour en extraire la conclusion.

2.2. Modus Tollens (Le mode qui nie)

Cette règle est la contrepartie du modus ponens. Elle est fondée sur le principe de la contraposition.

• Prémisse 1: Si P, alors Q ($P\Rightarrow Q$)
• Prémisse 2: Or, Q est fausse ($\neg Q$)
• Conclusion: Donc, P est fausse ($\neg P$)

En notation formelle : $(P\Rightarrow Q),\neg Q⊢\neg P$.

Pour aller plus loin (Niveau Agrégation) :
Un point élégant est de comprendre que ces règles ne sont pas toutes indépendantes. On peut dériver le modus tollens du modus ponens en utilisant l'équivalence logique de la contraposition ($(P\Rightarrow Q)\iff (\neg Q\Rightarrow \neg P)$).

La vidéo suivante démontre cette dérivation. C'est un excellent exemple de méta-raisonnement sur les systèmes de preuve, une compétence clé à votre niveau.

Ce type de dérivation montre la cohérence et la puissance des systèmes formels.

3. Construire une Démonstration

Le véritable intérêt des règles d'inférence réside dans leur capacité à être enchaînées pour construire des preuves complexes, où la conclusion d'une étape devient la prémisse de la suivante.

Exercice :
Utilisez les règles d'inférence pour prouver la conclusion $\neg p$ à partir des prémisses ci-dessous. Énoncez la règle utilisée à chaque étape.

Pour la première étape, vous aurez besoin de la règle du Syllogisme Disjonctif, visible sur l'image des règles d'inférence plus haut (n°4). Elle s'énonce ainsi : $(A\vee B),\neg B⊢A$.

Réfléchissez à la séquence d'étapes qui vous mènera de vos prémisses initiales à la conclusion $\neg p$.

Conclusion

Aujourd'hui, nous avons franchi une étape importante en passant de la vérification sémantique à la déduction syntaxique.

Points clés à retenir :

• Les règles d'inférence sont des schémas d'arguments logiquement valides qui permettent de construire des preuves formelles.
• Le Modus Ponens ($(P\Rightarrow Q),P⊢Q$) est la règle de déduction directe.
• Le Modus Tollens ($(P\Rightarrow Q),\neg Q⊢\neg P$) est son pendant, basé sur la contraposition.
• En combinant ces règles, nous pouvons dériver des conclusions complexes à partir d'un ensemble de prémisses, formant ainsi le cœur du raisonnement déductif.

Dans la leçon suivante, nous allons enrichir notre langage logique. Jusqu'à présent, nos propositions étaient des entités atomiques. Nous allons introduire la logique des prédicats du premier ordre, qui nous permettra de parler des propriétés d'objets et de quantifier sur des ensembles d'objets avec des notions comme "pour tout..." ($\forall$) et "il existe..." ($\exists$). Cela nous ouvrira la porte à la formalisation de la quasi-totalité des énoncés mathématiques.