Inverting 2x2 Matrices

Bonjour ! Dans la leçon précédente, nous avons découvert le déterminant et son rôle crucial pour déterminer si une matrice est inversible. Nous avons établi une règle fondamentale : une matrice possède un inverse si, et seulement si, son déterminant est non nul.

Maintenant que nous savons identifier les matrices inversibles, il est temps d'apprendre à calculer concrètement leur inverse. Dans cette leçon, nous nous concentrerons sur le cas le plus simple et le plus courant pour les exemples fondamentaux : le calcul de l'inverse d'une matrice 2x2. Vous apprendrez une formule simple et directe pour y parvenir, une compétence essentielle avant de passer à des concepts plus avancés.

Qu'est-ce qu'une matrice inverse ?

Pour rappel, l'inverse d'une matrice carrée $A$ , notée $A^{- 1}$ , est la matrice qui "annule" l'effet de $A$ . Lorsqu'on les multiplie ensemble (dans n'importe quel ordre), le résultat est la matrice identité $I$ , qui est l'équivalent du nombre 1 dans le monde des matrices.

A A^{- 1} = A^{- 1} A = I

La vidéo suivante de la chaîne Professor Dave Explains offre une excellente introduction à ce concept.

Inverse Matrices and Their Properties

Cette vidéo pose les bases de ce qu'est une matrice inverse et de sa relation avec la matrice identité.

Regardez la première partie qui introduit l'idée de la matrice inverse et explique la notation A^{-1}.

La formule de l'inverse d'une matrice 2x2

Heureusement, pour une matrice 2x2, il existe une formule élégante et facile à mémoriser. Pour une matrice $A$ donnée par :

A = [a c b d]

Son inverse $A^{- 1}$ est calculé comme suit :

A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} [d - c - b a]

Analysons cette formule. Elle se compose de deux parties :

Un scalaire : $\frac{1}{a d - b c}$ . Vous reconnaissez le dénominateur : c'est le déterminant de $A$ , $det (A)$ . Cela confirme ce que nous avons appris : si le déterminant est zéro, on se retrouverait à diviser par zéro, ce qui est impossible. L'inverse n'existerait pas.
Une nouvelle matrice : $[d - c - b a]$ . Cette matrice est appelée la matrice adjointe de A (pour le cas 2x2). La règle pour l'obtenir est simple :
- On échange les éléments de la diagonale principale ( $a$ et $d$ ).
- On change le signe des éléments de l'autre diagonale ( $b$ et $c$ ).

L'image ci-dessous résume parfaitement cette formule.

Cette image décompose la formule de l'inverse d'une matrice 2x2 en ses trois composantes clés : l'inverse lui-même, le déterminant et la matrice adjointe.

Pour bien comprendre la construction de cette formule, vous pouvez lire une courte explication qui détaille la formation du déterminant et de la matrice adjointe.

Inverse of 2x2 Matrix - Formula, Shortcut, Adjoint of 2x2

Cet article de Cuemath explique clairement et séparément comment obtenir le déterminant et l'adjointe avant de les combiner.

Lisez la section "Determinant of a 2x2 Matrix" pour un rappel, puis la section "Adjoint of a 2x2 Matrix" pour voir l'astuce de construction de la matrice adjointe.

Exemple de calcul

Mettons cette formule en pratique. Prenons la matrice $A$ de l'article d'ApX Machine Learning.

How to Calculate a Matrix Inverse - ApX Machine Learning

Cet article propose un exemple clair et concis du calcul de l'inverse d'une matrice 2x2.

Lisez la section intitulée "The 2x2 Case: A Simple Formula" et suivez l'exemple de calcul qui est détaillé juste après.

Reprenons les étapes pour la matrice $A = [4276]$ :

Calculer le déterminant :
$det (A) = a d - b c = (4) (6) - (7) (2) = 24 - 14 = 10$ .
Le déterminant est 10 (non nul), donc l'inverse existe.
Trouver la matrice adjointe :
On échange 4 et 6, et on change le signe de 7 et 2. On obtient : $[6 - 2 - 7 4]$ .
Appliquer la formule complète :
$A^{- 1} = \frac{1}{10} [6 - 2 - 7 4] = [6/10 - 2/10 - 7/10 4/10] = [0.6 - 0.2 - 0.7 0.4]$ .

Vérification du résultat

Comment être sûr que notre calcul est correct ? En utilisant la définition même de l'inverse : $A \times A^{- 1}$ doit donner la matrice identité $I = [1001]$ .

[4276] [0.6 - 0.2 - 0.7 0.4] = [(4) (0.6) + (7) (- 0.2) (2) (0.6) + (6) (- 0.2) (4) (- 0.7) + (7) (0.4) (2) (- 0.7) + (6) (0.4)]

= [2.4 - 1.4 1.2 - 1.2 - 2.8 + 2.8 - 1.4 + 2.4] = [1001]

Le résultat est bien la matrice identité. Notre calcul de l'inverse est correct.

La vidéo suivante montre non seulement comment appliquer la formule, mais aussi la logique de la vérification.

Inverse Matrices and Their Properties

Cette partie de la vidéo montre pourquoi la formule fonctionne et l'applique à un exemple concret.

Regardez la section qui explique la logique de la formule en la multipliant par la matrice originale. Ensuite, suivez l'exemple de calcul et de vérification.

Exercice pratique

À votre tour ! Calculez l'inverse de la matrice suivante :

N = [3125]

Suivez les trois étapes :

Calculez le déterminant pour vérifier que l'inverse existe.
Déterminez la matrice adjointe.
Combinez les deux pour trouver $N^{- 1}$ .

Cliquez ici pour voir la solution.

1. Déterminant :

det (N) = (3 \times 5) - (2 \times 1) = 15 - 2 = 13

Le déterminant est 13 (non nul), donc la matrice est inversible.

2. Matrice adjointe :
En échangeant les éléments de la diagonale principale et en changeant le signe des autres, on obtient :

adj (N) = [5 - 1 - 2 3]

3. Inverse :

N^{- 1} = \frac{1}{13} [5 - 1 - 2 3] = [5/13 - 1/13 - 2/13 3/13]

L'approche pratique en Python avec NumPy

Dans le contexte de l'apprentissage automatique, vous n'aurez que très rarement à calculer des inverses à la main. Votre objectif est de comprendre le concept pour savoir quand et pourquoi l'utiliser. En pratique, vous utiliserez des bibliothèques comme NumPy qui le font pour vous de manière optimisée.

La fonction numpy.linalg.inv() est l'outil que vous utiliserez.

How to Calculate a Matrix Inverse - ApX Machine Learning

Cette section de l'article d'ApX Machine Learning fait le pont entre la théorie et la pratique en montrant comment effectuer l'opération en Python.

Lisez la section "Using NumPy for Matrix Inversion". Portez une attention particulière au code Python et à la façon dont il utilise np.linalg.inv() pour obtenir le même résultat que notre calcul manuel.

Comme vous pouvez le voir, une seule ligne de code suffit pour réaliser une opération que nous avons détaillée en plusieurs étapes. C'est la puissance des bibliothèques de calcul scientifique.

Conclusion

Dans cette leçon, nous avons franchi une étape pratique importante en apprenant à calculer l'inverse d'une matrice 2x2.

Les points clés à retenir sont :

La définition de l'inverse : $A^{- 1}$ est la matrice qui, multipliée par $A$ , donne la matrice identité $I$ .
La formule 2x2 : $A^{- 1} = \frac{1}{d e t ( A )} \times adj (A)$ .
La méthode simple : Pour trouver l'adjointe, on échange les éléments de la diagonale principale et on inverse le signe des deux autres.
L'outil pratique : En Python, la fonction numpy.linalg.inv() est la méthode à privilégier pour calculer les inverses de matrices.

Maintenant que nous avons une bonne maîtrise des opérations de base sur les matrices, la prochaine leçon abordera une autre notion fondamentale : les normes de vecteurs. Nous apprendrons à mesurer la "longueur" ou la "magnitude" d'un vecteur, un concept omniprésent en apprentissage automatique pour évaluer les erreurs de modèles et bien plus encore.

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